Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Очень похожую историю рассказывают о Давиде Гильберте (1862–1943), однако в ней речь идет о теореме (в то время — гипотезе) Ферма. Как-то раз Гильберт сообщил своим коллегам из далекого города, в котором он должен был вступить с докладом, что расскажет об окончательном доказательстве теоремы Ферма. Когда Гильберт долетел до места назначения без происшествий, он прочел блестящий доклад, но ни словом не обмолвился о теореме Ферма. Когда его спросили об этом, он ответил, что упомянул о теореме «на случай, если самолет разобьется». В этой версии о Боге ничего не говорится, но его роль подразумевается.

Ноль и ничто

Во время интервью, которое выдающийся мыслитель Бертран Рассел дал индийскому писателю Разипураму Лаксману (род. 1924), словоохотливый Рассел заметил, что Индия не дала миру ничего: «You indians, have invented absolutely nothing» («Вклад индийцев в науку и культуру равен нулю») — сказал Рассел. Лаксман был ошеломлен: фраза показалась ему не просто невежливой — услышать ее из уст такого джентльмена было попросту немыслимо, к тому же она не соответствовала истине. Однако Лаксман не успел возразить: хитрый Рассел пояснил, что слово nothing, «ничто», следует понимать буквально. Nothing означает «ноль» — именно это имел в виду Рассел. Индийцы изобрели ноль — это и есть их важнейший вклад в науку.

Карикатура из газеты Evening Standard, опубликованная в 1961 году, когда Рассел в очередной раз был заключен в тюрьму за свои политические взгляды, противоречившие тогдашним законам.

Действительно ли все было именно так, доподлинно неизвестно. По всей видимости, стоит предполагать, что ноль изобрели именно индийские математики в VI веке. Они не только открыли способ описать «ничто», но добились значительно большего. Понятие нуля является одним из основных в позиционной системе счисления. Бертран Рассел был нобелевским лауреатом, одним из величайших математиков всех времен, но даже ему не удалось открыть хоть что-то, сопоставимое с нулем — изобретением столь же гениальным, как и колесо.

Удивительный гений

Гениальный венгерский математик Пал Эрдёш (1913–1996) был широко известен — отчасти благодаря экстравагантному характеру, о котором было сложено немало анекдотов, а отчасти — благодаря реальному вкладу в теорию чисел. Эрдёш и вправду был гением: он говорил, что открыл отрицательные числа, когда ему было всего 4 года.

Не рассказывать анекдотов об Эрдёше невозможно. Он, как и Харди, считал Бога своим личным врагом, который скрывает от людей прекраснейшие из теорем, а он, Эрдёш, должен вытягивать их из него силой. Математик утверждал, что самые примечательные образцы этой тайной мудрости изложены в воображаемой книге — сборнике шедевров мысли, и когда ему удавалось доказать какое-то очень красивое утверждение, он восклицал: «Это наверняка должно быть в книге!»

Эрдёш стал живой легендой, а некоторые математические понятия, связанные с ним, прочно вошли в науку, как, например, предложенное в шутку число Эрдёша, которое теперь изучается в теории графов. Число Эрдёша для любого ученого X определяется как наименьшее число Е(Х) такое, что для этого ученого найдется хотя бы один соавтор одной из его статей с числом Эрдёша Е(Х) — 1. Это рекурсивное определение заканчивается, когда мы определяем число Эрдёша, равное О, единственным обладателем которого является сам Эрдёш. Ученый имеет число Эрдёша, равное 1, если он написал статью в соавторстве с самим Эрдёшем. Очевидно, что число Эрдёша, равное 2, имеют те, кто написал статью в соавторстве не с Эрдёшем, а с одним из тех, кто имеет число Эрдёша, равное 1. Те, кто написал статью в соавторстве с ученым X, имеющим число Эрдёша Е(Х) = 2, имеют число Эрдёша, равное 3, и так далее. Тот, кто не связан с этой цепочкой соавторов, имеет бесконечно большое число Эрдёша. Число Эрдёша — это в высшей степени математический способ классификации математиков.

Множество математиков с числом Эрдёша, равным 1, содержит 311 человек. В их число входит знаменитый бейсболист Хэнк Аарон — по совету математика Карла Померанса (род. 1944) Эрдёш оставил ему автограф на бейсбольном мяче во время церемонии вручения степени почетного доктора. Кто-то подсчитал, что 90 % ученых современности имеют число Эрдёша, меньшее или равное 8. Наибольшее известное на сегодняшний день число Эрдёша равно 15. Следует отметить, что старейшим математиком, принадлежащим к этой блестящей компании, является Рихард Дедекинд (1831–1916) с числом Е (Дедекинда) = 7.

«Мой разум открыт» — говорил Пал Эрдёш друзьям, когда стучался в их двери, чтобы погостить у них. С собой ученый брал только чемодан и смену белья, поскольку все остальное — его ум и готовность решать самые запутанные задачи — были при нем всегда. После этой фразы часто звучало и другое его изречение: «Another roof, another proof» («Еще одна крыша, еще одно доказательство»).

Подсказка от Эрдёша

Все, что не было связано с математикой, вызывало у Эрдёша просто мучительную скуку. Как-то раз его пригласили на ужин, и когда ученый убедился, что гости действительно собрались ужинать, а не говорить о математике, то уткнулся носом в тарелку и заснул. Существует еще одна история, рассказанная польско-американским математиком Марком Кацом (1914–1984). Один из семинаров Каца был посвящен теме, не слишком интересной Эрдёшу, и тот благополучно задремал. Однако в какой-то момент Кац зашел в тупик, не в силах решить задачу о делителях числа, и ровно в этот же момент Эрдёш проснулся, словно хищник, почуявший добычу, и тут же погрузился в задачу. Кац еще не закончил говорить, как Эрдёш триумфально вскинул голову: задача была решена.

Числа господина Смита

Эта история началась благодаря Альберту Вилански, который описал новый класс чисел, взяв за основу телефон своего зятя — по крайней мере, именно так изложены события в книгах по теории чисел. У зятя Вилански, некого Гарольда Смита, был номер телефона 4937775. Сумма его цифр равна 42:

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42.

Затем Вилански разложил номер телефона на простые множители:

4937 775 = 3·5²·65 837

и записал его без показателей степени, точно так же, как это делают школьники:

4937 775 = 3·5·5·65 837.

Сюрприз! Сумма всех цифр этих чисел вновь равнялась 42:

3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.

Другой не обратил бы на это внимания, но Вилански испытал настоящее озарение. Так появились числа Смита. Число Смита (мы приведем его определение в десятичной системе счисления, но его можно определить и в любой другой) — это составное число, для которого при разложении на множители и записи в указанном виде сумма цифр исходного числа и сумма цифр его простых сомножителей равны. Изучение чисел Смита оказалось довольно плодотворным, и сегодня этим занимаются сотни и тысячи математиков. Известно, что чисел Смита бесконечно много (недаром это весьма распространенная фамилия в англоязычных странах), бесконечное множество из них является палиндромами, и даже известно одно любопытное число Смита

9·10₁₀₃₁(10⁴⁵⁹⁴ + 3·10²²⁹⁷ + 1)¹⁴⁷⁶·10^3913210,

где R₁₀₃₁ (R означает «репьюнит» от английского «повторяющаяся единица») обозначает целое число, записанное как 1031 единица подряд, или, что аналогично

R₁₀₃₁ = (10¹⁰³¹ – 9)/9

На 2010 год это число было наибольшим из известных чисел Смита. Самым примечательным в этом классе является «число зверя» 666, упоминаемое в Откровении Иоанна Богослова: