Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

С другой стороны,

6 + 6 + 6 = 18.

666 = 2·3·3·37;

2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 18.

Трепещите, каббалисты и приспешники темных сил! Жаль, что числа Смита имеют столь прозаическое название и обязаны своим появлением на свет телефонному номеру.

Муха

Американский физик и математик венгерского происхождения Джон фон Нейман (1903–1957) благодаря некоторым чертам своего характера также стал героем множества анекдотов. В одном из самых популярных рассказывается о его впечатляющих способностях к вычислениям и любопытной привычке действовать не так, как простые смертные. Задача о двух поездах и мухе стала уже классической, и звучит она так: предположим, что два поезда, А и В, отправляются навстречу друг другу из точек и В соответственно. Допустим, что расстояние между A и В равно 100 км, скорость поездов — 50 км/ч. В момент отправления муха, сидевшая на локомотиве поезда А, летит в точку В со скоростью 75 км/ч. Она летит быстрее, чем движется поезд А, и в конце концов встречается с поездом В. Достигнув поезда В, она сразу же поворачивает обратно и летит в сторону А. Когда она достигает поезда А, она вновь поворачивает обратно и летит в сторону поезда В, и так далее. Полет мухи закончится, когда оба поезда встретятся. Какое расстояние к этому времени пролетит муха? После трудоемких вычислений студент-отличник показал бы, что длина пути равна сумме следующей бесконечной геометрической прогрессии:

Знаменатель прогрессии равен 1/5, а ее сумма равна d = 75 км.

Проницательный неспециалист получит тот же результат, рассуждая следующим образом: поездам A и В встретятся в середине пути, на отметке в 50 км, время в пути составит один час. Следовательно, длительность полета мухи также равна одному часу, а поскольку скорость мухи равна 75 км/ч, то муха в сумме пролетит 75 км. Это решение элементарно, однако подойти к задаче подобным образом способны не все.

Когда один из коллег фон Неймана предложил ему эту задачу для развлечения, ученый незамедлительно дал ответ: «75 км». Коллега был несколько разочарован: «Ну вот, а я надеялся застать тебя врасплох. Ты очень умный, а вот большинство решает эту задачу с помощью суммы ряда». Фон Нейман с удивлением ответил: «А что я, по-твоему, сделал?» Гений среди гениев ни на секунду не задумался о другом решении. Он всего лишь вывел нужный ряд и мгновенно вычислил его сумму. Просто и быстро — если, конечно, вы — фон Нейман.

Западня Ферма

Некоторые известные задачи и простые математические темы попали на киноэкран: математике посвящены, в частности, фильмы «Маленький человек Тейт» (1991), «Куб» (1997), «Мёбиус» (1996), «Пи» (1998), «Энигма» (2001) и многие другие. Однако существует фильм, все действие в котором вращается вокруг математики, — это «Западня Ферма» (2007) режиссеров Луиса Пьедраиты и Родриго Сопеньи. В фильме снимается блестящий актерский ансамбль, а герой Алехо Саураса, молодой специалист с фамилией Галуа (подсказка для внимательного зрителя), играет особую роль — он нашел доказательство гипотезы Гольдбаха. К сожалению, доказательство было украдено, о чем сообщается в начале фильма.

Сюжет фильма полон неожиданных поворотов, один из которых (по всей видимости, он взят из рассказа Эдгара Аллана По) заключается в том, что герои фильма заперты в комнате со сдвигающимися стенами. Эта драматическая история — лишь сюжет фантастического фильма: еще никому не удалось достаточно близко подойти к доказательству гипотезы Гольдбаха. Галуа признает, что его доказательство было ошибочным, однако другой персонаж, по фамилии Гильберт (его роль исполняет Луис Омар), по всей видимости, находит корректное доказательство. К сожалению, Гильберт погибает, а его выкладки оказываются на дне реки. На сегодняшний день гипотеза Гольдбаха по-прежнему не доказана и ждет своего укротителя.

Глава 2 Фигуры

Геометрия — единственная наука, которую Богу угодно было пожаловать человеческому роду.

Томас Гоббс

Циклоиды вместо овец

Те, кто страдает бессонницей, обычно считают овец, чтобы заснуть. Математики богослов Блез Паскаль (1623–1662) нашел для себя другой способ призвать сон. В конце жизни он практически полностью посвятил себя богословию, оставив в стороне науку, которая до того была его основным занятием. При этом Паскаль страдал от бессонницы, которая не отступала, сколько бы овец он ни сосчитал. По всей видимости, недостаток сна стал причиной постоянных головных болей мыслителя, а во времена, когда еще не знали о болеутоляющих, это было настоящим мучением.

Однажды, страдая от бессонницы, Паскаль задумался о геометрии, в частности о циклоидах — кривых, обладавших загадочным очарованием. Головная боль вскоре утихла, и ученый смог заснуть. С тех пор мысли о циклоидах стали для Паскаля безотказным средством против бессонницы и головных болей.

Циклоида определяется механически как траектория фиксированной точки катящейся окружности.

Размышляя об этом любопытном явлении, Паскаль нашел ему лишь одно объяснение — религиозное: Богу, по всей видимости, математика угодна больше, чем что-либо еще. Паскаль даже учредил особую премию для авторов интересных открытий, связанных с циклоидой, а членом жюри назначил известного специалиста Жиля Персонна Роберваля (1602–1675).

Об этом превосходном математике также следует сказать несколько слов. Роберваль обожал циклоиду — кривую, вызвавшую столько жарких споров, что некоторые называли ее Еленой геометрии, имея в виду Елену Троянскую. Роберваль участвовал во многих подобных диспутах по одной причине: должность главы кафедры математики Коллеж де Франс освобождалась каждые три года, и новый глава назначался по результатам конкурса на тему, указанную его предшественником. Естественно, действующий глава кафедры хранил все интересные результаты в тайне, а затем представлял их во время конкурса, в котором обычно одерживал верх, так как имел фору. Но если бы кто-то, кроме него, открыл какую-то секретную теорему и представил ее на суд жюри, разразилась бы настоящая буря. Роберваль возглавлял кафедру 40 лет — достаточно времени, чтобы со всеми перессориться. Однажды его оппонентом был итальянец Торричелли, и Паскаль, который, как и Роберваль, был французом, встал на сторону соотечественника. Однако позднее было доказано, что Торричелли верно вычислил площадь, ограниченную кривой, и определил метод построения касательных к ней совершенно независимо от вспыльчивого Роберваля.

И в завершение рассказа — снова о Паскале: его отец не воспринимал увлечение сына математикой всерьез, пока тот не сформулировал самостоятельно утверждения, охватывавшие содержание 32 первых теорем «Начал» Евклида. Мальчику в то время было всего девять лет, и после этого отец уступил просьбам сына.

Ускользающий многоугольник

Вундеркинд Карл Фридрих Гаусс в 19 лет обнаружил, какие многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки, а какие — нет. В то время Гаусс колебался между лингвистикой и математикой, поскольку к обеим наукам проявил удивительные способности. Раскрыв тайну многоугольников, он понял, что призван стать геометром, и занялся математикой. Гауссу не пришлось сожалеть о выборе: многие годы он оставался бесспорным лидером в своей области.

Найденный им ответ к задаче о многоугольниках был таким: правильный n– угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется равенство

n = 2^kp₁p₂·…·p_m при k >= 0,

где р_i — либо единицы, либо различные простые числа Ферма. Осталось объяснить, какие числа называются числами Ферма. Число F_p называется числом Ферма, если имеет вид

Числа Ферма могут быть простыми или составными:

F₆ разложил на множители французский математик Фортюне Ландри в 1880 году. Для последующих F_p вплоть до F₁₁ были найдены способы разложения на множители, но больше простых чисел Ферма обнаружить пока не удалось. Неизвестно, существуют ли они.

Из теоремы следует, что возможно построение правильных n– угольников для