"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Значна частина задач математичної фізики та обчислю-вальної математики пов’язана з чисельним розв’язанням рівнянь в частинних похідних, які описують різноманітні процеси (класичний та квантовий хаос, дифузійні тощо). При чисельному розв’язанні шуканих рівнянь часто використовуються різницеві схеми [1]. До числа досить складних відноситьтся класс задач, пов’язання з рішенням рівняння Шредінгеру для багаточастин-кових систем з різним птенціалами. Дана робота присвячена розробці нових чисельних моделей в теорії квантово-хаотичних систем у магнітному полі. Вперше розроблено новий квантовий підхід до розрахунку енергій й ширин зеєманівських резонансів у спектрі атому водню й воднєподібних систем у статичному магнітному полі та їх статистичних характеристик у режимі хаосу. Метод базується на скінченно-різницевому розв’язанні двомірного рівняння Шредінгера для атому водню у магнітному полі та операторній теорії збурень. Гамільтоніан системи у магнітному полі з магнітною індуцією Вмає стандартний вигляд:

(1)

Завдяки інваріантності відносно обертання навколо восі, яка проходить через ядро й паралельна полю В, z– компонента орбітального моменту L _z =hМє величиною, що зберігається. У циліндричній системі координат (Oz|| В) з врахуванням залежності хвильової функції від куту повороту навколо восі z, рівняння Шредінгеру має вигляд (в атомних одиницях):

(2)

Двомірне рівняння (2) не розв’язується аналітично (член кулонівської взаємодії з не дозволяє розділити змінні), тому в роботі розвинуто нову скінченно-різницеву схему його розв’язання. При різницевому розв’язанні нескінчена область замінювалася прямокутною областю: 0 < <L , 0 <z<L _z достатньо великих розмірів, в якій будується рівномірна сітка з кроками h , h _z таким чином, що межі області знаходились на віддалі 1/2 кроку до найближчої лінії вузлів. На зовнішній межі виконувалась умова: Похідні по апроксимувалися (2 m+1) – точковими симетричними різницевими схемами, які отримані шляхом диференціювання інтерполяційної формули Лагранжа. Для другої похідної по zвикористана трьохточкова симетрична різницева схема. Власні значення гамільтоніана розраховані на підставі методу зворотних ітерацій. Відповідна система неоднорідних рівнянь розв’язується методом Томаса. З метою збільшення точності розрахунку власних значень використано метод Річардсона экстраполяції розв’язок по кроку сітки h. Власні значення для одного й того ж стану апроксимувалися многочленом від h.

Для розрахунку ширин резонансів у магнітному полі узагальнено метод операторної теорії збурень ОТВ (Glushkov-Ivanov, 1992 [5]). Ширина Г резонанса:

Г/2(3)

з повним гамільтоніаном (2), _Eb – функції дискретного спектру, _Ec – функції станів континуума. Далі розглянуто застосування нового підходу до розрахунку енергетичних та статистичних властивостей спектру резонансів в атомі водню у магнітному полі й з’ясування особливостей та механізму стохастизації у системі. Крім мети апробації нового методу взагалі, ми виконали розрахунки з метою відтворити та докладно пояснити результати експериментів Клеппнера та співр. (Масачусетський технологічний інститут), в яких спостерігався ефект хаосу в атомі водню у магнітному полі з індукцією 6Тл (див. [2–4]). Ми проводили розрахунок енергій та ширин резонансів в атомі водню для декількох інтервалів значень індукції магнітного поля, у тому числі, значення, яке використано в експерименті Клеппнера та співр. Аналізувалися повністю збіжні серії резонансів в інтервалах енергії: [( n–0.5) , ( n–0.3 ] для n=1, 2, 3, 4. Рідбергівські серії резонансів збігаються до границі іонізації Ландау: E _ion(n )=(n +1/2) . Густина станів для кожного каналу Ландау, згідно з нашими аналізом, складала ~35 резонансів на см ^{– 1}, що погоджується з експериментальними значеннями ~30 резонансов на см ^{– 1}, а також даними, які отримані на підставі оцінок в межах моделі комплексних коордінат (МКК; Delande-Dupret, 1995) та адіабатичному наближенні ОТВ (АОТВ: Ambrosov-Glushkov, 1998): ~40 резонансов на см ^{– 1}. Середня ширина резонансу, згідно з нашим розрахунком, складає 0.005 см ^{– 1}, що також погоджується з експериментальними даними Клеппнера та співр.: 0.004–0.006 см ^{– 1}й оцінками в моделях МКК й АОТВ: 0.006–0.007 см ^{– 1}. З фізичної точки зору, наявність у спектрі атому водню у магнітному полі багаточислених резонансів з малими та аномально малими ширинами пояснюється в межах квантової теорії хаоса. Їх виникнення обумовлено не схованою симетрією або феноменом локалізації, а має місце внаслідок випадкових інтерференційних явищ й флуктуацій, притаманних взагалі хаотичним системам.

В роботі також вперше розроблено новий квантовий підхід до розрахунку структури й статистичних властивостей енергетичних спектрів некулонових (багатоелектронних) атомних систем у статичному магнітному полі у регулярній й хаотичній областях, який базується на скінченно-різницевому розв’язанні 2D рівняння Шредінгера з некулоновим потенціалом для багатоелектронної атомної системи і ОТВ (2D-ОТВ). Крім того, додатково вперше чисельно реалізовані адіабатичні моделі розрахунку структури рівнів Н-подібних й некулонових атомних систем у полі, які є ефективними лише у граничному випадку (в інших випадках точність не є достатньою, тому більшість розрахунків проведено методом 2D-ОТВ). У випадку багатоелектронної системи рівняння Шредінгера для одноелектронних функцій записуються (у хартрі-фоківському наближенні) у вигляді:

(4)

де V _c ( r) – потенціал, який додано до кулонівського й описує самопогоджене поле, в якому рухається електрон. В якості потенціалу V _свикористовувався потенціал Гріну. Для розв’язання рівняння (4) використана скінченно-різницева схема. Інтегрування по куту у виразах для кулонівського, кореляційного та обмінного потенціалів приводить до інтегралів у координатах ( , z), які містять еліптичні К и Е (розраховані шляхом чисельного інтегрування по вузлам сітки). Вперше в теорії схема розрахунку включала обмінно-кореляційні потенціали для вурахування міжелектронних кореляцій, які є важливими у випадках малих та проміжних значень магнітного поля). Слід відзначити, що до теперішнього часу надійні дані по енергетичним характеристикам атомних систем у магнітному полі практично відсутні. Отримані результати є дуже важливими, але їх точність з-за неврахування кореляцій й ряда інших факторів не може вважатися достатньо високою. На підставі нової чисельної моделі ми виконали докладні розрахунки структури енергетичних рівнів нейтральних та одноразово іонізованих атомних систем (із зарядом ядра Z=2–10) у статичному магнітному полі в интервалі змінення параметра магнітного поля: =B/Bo=0.01–10000; атомні одиниці). Розрахунки та аналіз структури енергетичних рівнів нейтральных та одноразово іонізованих атомів з Z=2–10 у магнітному полі показали, що залежність енергії рівнів від параметра магнітного поля має надто складний характер. Розраховані значення параметра магнітного поля, які відповідають багаточисельним перерізам рівнів (особливо висока їх інтенсивність у інтервалі енергій та значень поля, що відповідають порівняній величині взаємодії електрону з кулонівським та магнітним полем). Зокрема, в таблиці 1 наведені результати наших розрахунків енергій станів та значень параметра магнітного поля, яке відповідає найбільш інтенсивним перерізам енергетичних рівнів (системи: Ве-О).

Таблиця 1.

Енергії й параметр магнітного поля, які відповідають точкам перерізів енергетичних рівнів .

Z

Атомний стан (s)

– E( А) (ат.од.)

4

4.62

15.95827

4.576

15.95922

5

8.402

28.35029

8.345

28.34844

7

36.880

84.4892

30.563

79.41924

17.475

66.80315

17.411

66.77028

8

64.760

130.88013

55.810

124.28135

23.342

94.56914

24.521

94.50018

Особливо складна й нерегулярна структура енергетичних рівнів має місце в атомах вуглецю та неона. Для атома Ne у магнітному полі розрахунок показав, що переріз кривих енергії станів |0 _N > та |2 p ₀> має місце при =161.315, станів |2 p ₀> й |1 s ²> при =41.980. Докладний аналіз структури рівнів атома C у залежності від параметра магнітного поля (S _z=–2) показав, що із зменьшенням (із області великих значень В) конфігурація

1s ² 2p _{– 1} 3d _{– 2} 4f _{– 3} 5g _{– 4} поступається роллю основної конфігурації 1s ² 2s2p _{– 1} 3d _{– 2} 4f _{– 3} . Далі домінує конфігурація: 1s ² 2s2p _{– 1} 3d _{– 1} 3d _{– 2} . В області змінювання параметра магнітного поля від ~0,4 до ~5 мають місце інтенсивні перерізи енергетичних рівнів. Структура рівнів характеризується надто виразовою нерегулярністю. Таким чином, нами розроблено новий чисельний підхід до розрахунку енергетичних спектрів атомних систем у статичному магнітному полі, їх статистичних характеристик у режимі хаосу, який базу-ється на скінченно-різницевому розв’язанні двомірного рівняння Шредінгера для атому у магнітному полі і ОТВ. Новий чисель-ний підхід є досить універсальним і може бути застосований для кількісного вивчення регулярної й стохастичної динаміки. феномену квантового хаосу у самих різних системах.

Література

Cамарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М., 1973.

Куклина И.В. Стохастическая динамика атомных систем в магнитном поле // Науковий Вісник Ужгородського університету. – 2001. – Vol. 9, N2. – P. 171-174.

Glushkov A.V., Fedchouk A.P., Kuklina I.V. Stochastic dynamics of atomic systems in magnetic field. Zeemane effect for Wannier-Mott excitons // Photoelectronics. – 2001. – №10. – P. 100-102.

Kuklina I.V. Multielectron systems in a superstrong magnetic field: Density-functional calculations // Proc. International Conf. on Applied Density Functional Theory. – Vienna (Austria). – 2001. – P. 94.

Glushkov A.V., Ivanov L.N. DC Strong-Field Stark-Effect: consistent quantum-mechanical approach // J. Phys.B: At. Mol. Opt. Phys. – 1993. – Vol. 26, N 16. – P. L379-L386.

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА НА ПЯТЬ РАВНЫХ ЧАСТЕЙ

А.Я. Кумченко

г. Днепропетровск, Днепропетровский государственный

аграрный университет

Деление отрезка на пять равных частей осуществляется при помощи следующей теоремы: