Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Книга I, предложение 31. Через точку Р> не лежащую на прямой АВ_У всегда можно провести прямую линию, параллельную данной прямой.

Проведем через точку Р линию PQ, перпендикулярную АВ (Q находится на прямой АВ или на ее продолжении, которое можно построить при помощи циркуля и линейки, согласно предложению 12). Таким же образом проведем через Р прямую PR, перпендикулярную PQ. Очевидно, что прямые PR и АВ параллельны, потому что в противном случае они бы пересеклись в некой точке, например R, и мы получили бы треугольник QPR с двумя прямыми углами. Но это невозможно (поскольку противоречит предложению 16 книги I), следовательно, существование параллельной доказано. Теперь мы должны доказать, что эта прямая всего одна. Для этого необходимо прибегнуть к ложному (или идеальному) геометрическому объекту, который уже подразумевает правильность того, что мы хотим доказать. Получается, факт единственности такой параллельной не вытекает ни из какого другого постулата. Как мы увидим дальше, это привело к настоящему перевороту, поскольку вынуждало поставить под сомнение авторитет Евклида.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ

Доказать единственность параллельной можно, приняв за истину евклидову геометрию.

Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, всегда можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Если бы существовали две прямые, параллельные АВ (вводится дополнительная фигура, воображаемая, поскольку основана на ложной предпосылке), это были бы первая (та, которая образует прямой угол с PQ в точке Р) и PR. Следовательно, угол <QPR был бы меньше прямого (книга I, предложение 31), а сумма углов <BQP и <QPR была бы меньше суммы двух прямых углов (общее понятие 4). Согласно пятому постулату прямые PR и АВ пересекаются. Возникает противоречие. Следовательно, необходимо отказаться от гипотезы, по которой PR является параллельной.

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

Говоря о геометрии, невозможно не задаться вопросом: какова же истинная геометрия природы? Несомненно, одна из целей аксиоматизации состоит в том, чтобы уловить истину сущего. Но, возможно, на самом деле мы просто улавливаем истинность того, что представляем, то есть порождения человеческого разума, необязательно совпадающего с реальностью.

Во времена Евклида были две «настоящие» геометрические науки: «геометрия небес», то есть сферическая геометрия, необходимая для понимания астрономических процессов, так занимавших древнегреческих мыслителей, и «геометрия внутреннего двора», которой занимался Архимед, когда, по легенде, римский солдат поразил его своим мечом. Первую сейчас называют эллиптической геометрией. Она проявляется на поверхности земного шара. В этой геометрии точки определяются так же, а прямые — нет. Если вслед за Архимедом принять за прямую кратчайшую линию, соединяющую две точки, то мы заметим, что в эллиптической геометрии эти прямые обязательно пересекутся. Представим себе ситуацию: два человека начинают идти по прямой по земному шару, достигая в итоге исходной точки. Оба опишут максимальную окружность (то есть ту, которая делит сферу на два равных полушария), а максимальные окружности сферы обязательно пересекаются (на рисунке 3 окружности r и r' пересекаются в точке Р). Следовательно, в этой геометрии через заданную точку невозможно провести ни одну прямую, параллельную данной.

Вторая геометрия — внутреннего двора — работает в пределах ограниченного стенами пространства, в которой можно построить только то, что позволяет песок, покрывающий землю. В этой геометрии через точку Р, не лежащую на прямой r, можно провести бесконечное число параллельных прямых (см. рисунок 4). Так, мы можем провести через Р прямые r', r", r'". Только r" пересекает r внутри двора. Но есть и другие — все прямые, находящиеся внутри угла с вершиной Р и со сторонами, образованными прямыми, исходящими из Р и доходящими до прямой r. Точки пересечения находятся на стенах двора, а не на земле — там их не существует. Следовательно, прямые r и r' не пересекаются и являются параллельными. Прямые, не находящиеся внутри угла с вершиной P, как и его стороны, параллельны r.

Графические построения в такой геометрии, сейчас называемой гиперболической, выглядят так, будто их сделали на седле (рисунок 5). На такой поверхности равносторонний треугольник принимает странный вид, а сумма его углов становится меньше 180°. Параллельные же прямые удаляются друг от друга до бесконечности (или, наоборот, сближаются).

РИС.З

РИС. 4

РИС. 5

Эту геометрию открыли в начале XIX века независимо друг от друга венгерский ученый Янош Бойяи (1802-1860) и русский математик Николай Лобачевский (1792-1856). Уже в 1823 году Лобачевский начал сомневаться в том, что евклидова геометрия единственно возможная, причем именно потому, что все попытки доказать единственность параллельной прямой, исходя из других постулатов Евклида, были напрасны.

В 1829 году появилась статья Лобачевского «О началах геометрии», легшая в основу так называемой неевклидовой геометрии. В ней изложены принципы первой геометрии, построенной на гипотезе, противоречащей пятому постулату Евклида: через точку С, не лежащую на прямой АВ, можно провести более одной параллельной прямой, лежащей в плоскости АВС и не пересекающей АВ. На основе этого переформулированного постулата Лобачевский создал гармоничную и непротиворечивую геометрию.

До сих пор не было дано никакого строгого доказательства его правоты.

Николай Лобачевский о пятом постулате в 1823 году

Тем не менее авторитет Евклида и «Начал» в математическом мире был так высок, что Лобачевский решил не придавать большого значения новой геометрии и в первые годы чуть ли не стыдясь называл ее «воображаемой». За 20 лет, между 1835 и 1855 годами, он по меньшей мере три раза пересматривал свою новую систему. Шотландский писатель и математик Эрик Белл в своей знаменитой книге «Творцы математики» (1937) писал:

«В течение 2200 лет в некотором смысле верилось, что Евклид своей системой геометрии открыл абсолютную истину или необходимый способ человеческого познания. Созданное Лобачевским было настоятельным доказательством ошибочности этого верования. Смелость этого вызова и порожденный им успех вдохновили математиков и ученых вообще бросить вызов другим «аксиомам» или принятым «истинам» (например, «принципу» причинности), которые в течение столетий казались так же необходимыми для направления мышления, как постулат Евклида, до того как Лобачевский отбросил его.

Сильный стимул от метода Лобачевского бросать вызов аксиомам, вероятно, все еще должен ощущаться. Это не преувеличение — называть Лобачевского Коперником геометрии, так как геометрия есть только часть более широкой области, которую он обновил. Может быть, даже было бы справедливо называть его Коперником всего мышления».

Параллельно с Лобачевским (это слово здесь как нельзя более кстати) венгерский ученый Янош Бойяи пришел к тем же самым выводам. Его отец Фаркаш пытался доказать постулат о параллельных почти всю свою жизнь, но так ничего и не добился. Хотя открытие Яноша было сделано одновременно с Лобачевским, он обнародовал его только в 1832 году, опасаясь реакции, которую могла вызвать такая математическая «ересь». По этой причине первенство открытия неевклидовой геометрии приписывается исключительно русскому математику.

Фаркаш в письме своему другу Карлу Фридриху Гауссу поинтересовался его мнением о трудах своего сына. На это Гаусс ответил со всей откровенностью, что не может похвалить Яноша, потому что это равносильно тому, чтобы похвалить себя самого, настолько совпадали их точки зрения по этому вопросу. Из этого письма понятно: Гаусс тоже пришел к выводу о том, что постулат о параллельных в том виде, в котором сформулировал его Евклид, не вытекает из остального содержания его труда, и разработал какие-то другие логичные геометрические системы. Решение Гаусса не публиковать свои открытия, несмотря на его авторитет в мире математики, позволяет понять, насколько рискованно было оспаривать учение великого Евклида. Гаусс был так осторожен, что даже отказался публично поддержать Бойяи и Лобачевского после издания их работ — как он говорил, из страха «стать посмешищем болванов».

Еще одна великая неевклидова геометрия — эллиптическая — окончательно сформировалась благодаря одному знакомому Гаусса, немецкому математику Бернарду Риману (1826-1866). В своем докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (одном из самых знаменитых в истории науки) он изложил невероятно изящную геометрическую систему, в которой рассматривались исключительно искривления различных пространств и вытекающие из этого свойства. Риман доказал, что пространство Евклида — и, соответственно, вся евклидова геометрия — является частным случаем пространства с кривизной, равной нулю. В таком пространстве сумма углов треугольника равна 180°. Но бывают и другие пространства: например, сферическое, с положительной кривизной, в котором сумма углов треугольника больше 180°, или гиперболическое, с отрицательной кривизной, где, как мы уже видели, сумма углов треугольника меньше 180°.