Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Бога ради, прошу тебя, забудь об этом. Страшись этого так же, как чувственных страстей, потому что, как и они, оно может забрать все твое время, лишить тебя здоровья, душевного покоя и счастья.

Фаркаш Бояйи в письме к сыну Яношу, узнав, что тот написал работу

О ЕВКЛИДОВОМ ПОСТУЛАТЕ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Появление альтернативных геометрических учений привело к яростным философским спорам, которым можно подвести итог словами немецкого логика Готлоба Фреге из его посмертной статьи «О евклидовой геометрии»:

«Никто не может одновременно служить двум господам. Нельзя служить правде и лжи. Если евклидова геометрия верна, то неевклидова — ложна. Если верна неевклидова геометрия, то ложна евклидова. [...] Или так, или эдак! От какой же надо отказаться — от евклидовой или неевклидовой? Вот в чем вопрос».

Но все не так просто. Если мы будем исходить из гипотезы о том, что верна одна геометрия — например, геометрия Евклида, — то мы можем построить в ней такие поверхности, как сфера, обладающие эллиптической геометрией, и другие — при помощи геометрии внутреннего двора: первым таким примером стала псевдосфера Эудженио Бельтрами (1835-1900) в гиперболической геометрии. Другими словами, правильность одной геометрии подразумевает правильность и остальных, поскольку во всех них существуют поверхности или пространства, где они могут быть справедливы.

ТРАКТРИСА И ПСЕВДОСФЕРА

Если мы возьмем трактрису — кривую, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с осью OY является постоянной величиной (см. рисунок), — и будем вращать ее вокруг OY (ее асимптоты), то получим псевдосферу, первую модель гиперболической геометрии.

В 1899 году Гильберт опубликовал работу «Основания геометрии», в которой переписал «Начала» Евклида, дав им твердое основание и не прибегая ни к интуиции, ни к рисункам. Основные объекты — будь то «точки, прямые и плоскости» или «стулья, столы и пивные стаканы», как говорил Гильберт,— определялись исключительно аксиомами, которые устанавливали отношения между ними. Интересно, что Евклид принял за «истинную» не сферическую, а идеальную геометрию, основанную на абсолютно правильных построениях, а не на том, что мы видим вокруг. Единственно возможное объяснение — влияние Платона, благодаря которому Евклид по умолчанию признавал существование этой идеальной геометрии, не подверженной воздействию другой реальности, не подразумевающейся в ней самой.

ИТАК, ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ — ЭТО...

Во Вселенной геометрия связана с поверхностью, на которой она рассматривается, то есть с геометрическими объектами. Представим, что мы, как современный Архимед, лежим в ванне и рисуем прямые линии на ее стенках: некоторые из них — на дне — будут прямыми в евклидовом смысле слова, другие будут восходящими кривыми (те, что идут со дна ванны вверх по стенкам) и нисходящими (те, что идут по стене от верхнего бортика). Теперь зададимся вопросом: почему некоторые из них могут называться прямыми, а другие нет?

Общая теория относительности Эйнштейна утверждает, что пространство и, следовательно, прямые, которые в нем содержатся, деформируются в присутствии значительных масс или энергий. Представим себе тяжелый свинцовый шар на большом барабане: его мембрана деформируется, то есть изгибается. Если шарик поменьше будет вращаться по краю, то по спирали «упадет» в центр. В пространстве происходит нечто похожее: тела с большой массой, аналогично свинцовому шару, искривляют пространственно-временной континуум и оказывают влияние на другие тела. Пространство подобно земной поверхности, форма которой также неидеальна, и тем не менее никто не отрицает, что в общем поверхность нашей планеты можно назвать шарообразной. Какова же геометрия Вселенной? Тела, обладающие большой массой и большой энергией, локально изменяют пространство, но если брать Вселенную в целом, какова ее геометрия? Можно ли считать ее евклидовой, гиперболической или эллиптической? Ответ надо искать не в математике, потому что математически все эти геометрии имеют право на существование: все они основаны на формальных принципах и обладают внутренней логикой. Ответ кроется в окружающей нас реальности.

Более века назад Карл Фридрих Гаусс задался тем же вопросом, что и мы. Как устроена Вселенная? Какова ее геометрия? Ученый пришел к выводу, что если бы он смог измерить три внутренних угла треугольника, вершинами которого являются три отдаленные друг от друга звезды, то понял бы геометрию Вселенной. Мы знаем, что...

Если сумма трех углов -

>180°

= 180°

<180°

то геометрия вселенной.

эллиптическая (сферическая)

евклидова

гиперболическая.

Но расчеты Лобачевского и Фридриха Бесселя (1784- 1846), астронома и друга Гаусса, не дали никаких результатов. В 1981 году американский физик Алан Гут (1947) ввел понятие плотности Вселенной, которая равна отношению массы материи к единице объема. Существует ее критическое значение — ₀ = 4 х 10^{– 27} кг/м³. Оно определяет геометрию Вселенной и ее последующее развитие (см. таблицу).

Варианты развития Вселенной

Плотность

Геометрия

Будущее

>

₀

Сферическая

Коллапс

=

₀

Евклидова

Плавное расширение

<

₀

Гиперболическая

Резкое расширение

На данный момент полученное значение равно 10% ₀. Таким образом, считается, что Вселенная имеет гиперболическую геометрию и расширяется резко. Слова Галилея обретают новое звучание:

«Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту».

Видимо, для того чтобы понять устройство Вселенной, необходимо прибегнуть к геометрии. Такое же мнение высказал Исаак Ньютон в своем знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии».

БЕСКОНЕЧНОСТЬ В НАЧАЛАХ

Мы не можем и не должны забывать о влиянии философии на древнегреческую математику. Аристотель, например, уделяет огромное влияние понятию бесконечности в своей «Физике». В самом начале он пишет:

«Мелисс... утверждает, что сущее бесконечно. Следовательно, сущее есть нечто количественное, так как бесконечное относится к [категории] количества, сущность же, а также качество или состояние не могут быть бесконечными иначе как по совпадению... ведь определение бесконечного включает в себя [категорию] количества, а не сущности или качества. Стало быть, если сущее будет и сущностью, и количеством, сущих будет два, а не одно; если же оно будет только сущностью, то оно не может быть бесконечным и вообще не будет иметь величины, иначе оно окажется каким-то количеством».