Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Смысл подобной системы в том, чтобы свести умножение двух чисел больше 5 к умножению чисел меньше 5. Чтобы использовать эту систему, не нужно знать таблицу умножения до 10 — достаточно таблицы умножения до 5.

Вернувшись домой, я открыл главу книги об истории чисел. Ифра писал, что схожие приемы умножения используются в разных частях света: «Подобные методы до сих пор встречаются в Индии, Иране, Сирии, Сербии, Бессарабии, Валахии, Оверни и на севере Африки». Индонезии среди упоминаемых им регионов не было. Так я впервые в жизни увидел что-то, что не было описано в книге. Жители Бали исповедуют индуизм, и нет никаких сомнений, что способ умножения, которым пользовались учитель и его дочь, был частью индийского культурного наследия.

* * *

УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ БОЛЬШЕ 10

Секрет описанного метода умножения основан на остатках от деления на 5. Такое умножение выполняется на пальцах. Так как у нас по 5 пальцев на каждой руке, число загнутых или разогнутых пальцев будет равно остатку отделения искомого числа на 5. Чтобы умножить 13 на 14, отсчитаем единицы на пальцах. В итоге на одной руке будут загнуты 3 пальца, на другой — 4, что соответствует остатку от деления 13 и 14 на 5:13 = 5·2 + 3; 14 = 5·2 + 4. Что нужно сделать дальше, чтобы найти результат умножения? Ответ на этот вопрос подскажет алгебра:

(10 + а)(10 + Ь) = 100 + (а + Ь)·10 + аЬ.

Иными словами, нужно прибавить к 100 столько десятков, сколько пальцев загнуто на обеих руках (3 + 4), и их произведение:

13·14 = 100 + (3 + 4)·10 + 3·4 = 100 + 70 + 12 = 182.

* * *

Гравюры тораджи: можно ли создать их, не зная математики?

Произошедшее заставило меня по-новому посмотреть на окружающее. Вскоре мне попалось на глаза нечто особенное: гравюры народа тораджи с индонезийского острова Сулавеси. Вначале я увидел в них лишь произведение искусства и часть культуры тораджи, отличительной чертой которой является традиционная архитектура. Дома и амбары для хранения риса сделаны из дерева и стоят на толстых сваях.

В нижней части строений обычно хранят инструменты и держат скот, наверху располагаются жилые комнаты со стенами из деревянных панелей. Крыша дома по форме напоминает седло.

Одинаковые геометрические фигуры, равноудаленные друг от друга, и круг, разделенный на шестнадцать равных частей.

На фасады домов наносятся различные узоры, расположение и значение которых отражают представления тораджи об окружающем мире, космосе и обществе. Авторов узоров вдохновляет окружающая природа, образы которой воплощаются в гравюрах в виде геометрических абстракций.

После увиденного на пляже Падангбай и после того, как я понял, что в книге Джорджа Ифра ничего не говорится об этом регионе, я внимательно изучил некоторые фотографии архитектуры тораджи. Я по-прежнему видел в них произведения искусства, полные символов, но начал замечать и тщательно выстроенную сеть параллельных и перпендикулярных прямых, окружностей, спиралей, переносов, отражений и других видов симметрии. Можно ли создать все эти узоры, не зная математики?

Геометрия неизменно присутствует в произведениях искусства и узорах народа тораджи с острова Сулавеси.

Как создаются гравюры тораджи

Изучив гравюры тораджи, европейский математик свяжет их с евклидовой геометрией и сделает вывод, что они с большой вероятностью созданы на основе понятий и методов, введенных Евклидом. Подобная трактовка будет неразрывно связана с самими геометрическими фигурами, увиденными на гравюрах. Термины, которыми математик описывает эти фигуры, являются частью его собственной математической культуры. Однако ни один из этих терминов не знаком мастерам, изготовившим гравюры.

Когда математики получили возможность посмотреть, как тораджи создают узоры, и пообщаться с мастерами, они поняли, что некоторые их методы не относятся к геометрии Евклида. Граверы создавали узоры с высокой точностью: чаще всего каждый узор наносился с помощью сетчатой ткани, в некоторых случаях — поверх заранее намеченных эскизов. И всегда тщательно проведенные линии служили основой для фигур, которые наносили на гравюру позже.

Когда западные математики увидели, как мастера проводят линии сетки, то поняли, что тораджи строят параллельные и перпендикулярные линии не по методам, описанным Евклидом в «Началах», а согласно приближенным алгоритмам, которые казались намного менее строгими, чем можно было подумать, глядя на конечный результат. Параллельные линии и окружности были построены с очень высокой точностью с помощью циркулей, подобных европейским (на их обеих ножках имелись иглы, которыми можно делать отметки на деревянной поверхности), и циркулей из бамбука традиционной конструкции. Мастера ничего заранее не измеряли и не проводили никаких расчетов. Бамбуковая рейка служила как для измерений и откладывания размеров, так и для построения прямых линий.

Мастер тораджи рисует ряд спиралей.

Спираль, нарисованная от руки в углу сетки.

При этом мастера должны были решать важную задачу: перед тем как провести линии сетки на прямоугольной панели, где затем изображался узор, необходимо было отметить концы линий на краях панели. Две, три, четыре, шесть и восемь равноудаленных точек определялись методом проб и ошибок. Одни мастера использовали для этого бамбуковую рейку, другие — циркуль, и все они при этом отмечали точки в нужных местах и с поразительной быстротой.

Бамбуковый циркуль.

Эврика!

Сначала я подумал, что мастер хотел разделить сторону панели на две, три, четыре, шесть и восемь равных частей и что указанные им точки и станут концами линий сетки, поверх которой будет наноситься гравюра. Он действовал иначе, чем поступил бы я: я измерил бы сторону панели и разделил ее длину на нужное число частей, а затем отметил бы соответствующие точки. В распоряжении мастеров были линейки с миллиметровыми делениями и калькуляторы, однако они не пользовались этими инструментами, а применяли свой способ, достаточно эффективный и надежный: я видел, как они работают, собственными глазами.

Тогда я задумался: как бы решил эту задачу я, имея их инструменты? Я бы отмерил на глаз половину, треть и четвертую часть стороны, которую требовалось разделить на две, три или четыре равные части. Я отметил бы точку, примерно обозначавшую середину стороны, на бамбуковой рейке, а затем отложил ее на стороне прямоугольной панели, которую требовалось разделить. Затем я передвинул бы рейку так, чтобы ее конец совпал с отметкой, нанесенной на панели. Если я отмерил середину панели точно, то точка, отмеченная мной на середине бамбуковой рейки, совпала бы с краем панели.

По-видимому, мастера действовали точно так же. Однако суть задачи заключалась в другом: если нужные точки не совпадали, это означало, что я определил середину панели неверно. Как исправить эту ошибку? Мастера работали так быстро, что было сложно уследить, в чем заключалась суть их метода. Казалось, что они, на основе проб и ошибок, несколько раз отмечали нужную точку, пока не получали желаемый результат. Но как им удавалось без всяких расчетов находить нужные точки так быстро? Возможно, я недооценивал их метод, и он был намного эффективнее, чем мне казалось?

На следующее утро мы сели в автобус. Был солнечный день, нас ожидала долгая дорога, поэтому в начале пути я занимал себя тем, что наблюдал, как просыпалась жизнь на рисовых полях и в деревнях, мимо которых мы проезжали. Я чувствовал себя прекрасно, и мой разум переключался между реальностью и выдумкой.

Я попеременно видел сначала то, что в действительности находилось передо мной, затем — какие-то воображаемые картины. Внезапно у меня возник вопрос: как исправить ошибку измерений и получить точный результат?