Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

n =х₁^k + х₂^k + ... + x_g(k)^k.

В 1770 году Жозеф-Луи Лагранж доказал, что любое число — это сумма четырех квадратов, то есть что g(2) = 4. Но до Гильберта прогресса в этом вопросе не наблюдалось. Для некоторых конкретных значений k(k = 3, 4, 5, 6, 7 и 8) удалось ограничить значение g(k); так доказали, что g(4)<=53, но было еще далеко до доказательства, что для записи любого числа достаточно всего 19 четвертых степеней, то есть что g(4) = 19.

Эдуард Варинг.

Заслуженная премия

Гильберт напрямую не оценивал значения g(k) (это было сделано в XX веке) и косвенно доказал, что функция g(k) четко определена, то есть для каждого к она принимает конечное значение (никогда не принимает бесконечных значений, из чего можно сделать вывод: всегда существует минимальное число степеней, необходимых для записи любого числа). Это достижение принесло ему в 1910 году премию Яноша Бойяи. Как член жюри Пуанкаре отдал должное работе немецкого математика не только потому, что она относилась к теории чисел, но и за широкий спектр затронутых в ней тем: инварианты, аксиоматические основания геометрии, принцип Дирихле и так далее. Он также оценил строгость и простоту примененных методов, в которых проявился талант Гильберта как преподавателя.

Друзья снова встретились в 1902 году. Гильберт отказался от кафедры в Берлине, чтобы остаться в Гёттингене, но добился должности для своего дорогого коллеги. Гёттинген в одночасье превратился в Мекку для математиков. Здесь жили сразу три пророка — Клейн, Гильберт и Минковский. С 1902 по 1909 год последние двое вместе читали несколько курсов по математической физике, в частности по электродинамике движущихся тел (сегодня известной как теория относительности). Минковский очень внимательно отнесся к пререлятивистским теориям Пуанкаре и Лоренца и сразу же откликнулся на подход Эйнштейна. Его очень удивило, что этот революционный подход принадлежит его бывшему ученику в Цюрихе, в математических знаниях которого он несколько сомневался.

Минковский рассматривал время как четвертое измерение. Между пространством и временем есть нерушимая связь, они формируют единое целое — пространство-время. Все, что у Эйнштейна казалось туманным, в псевдоевклидовом четырехмерном мире, который вообразил Минковский, становилось ясным. Это геометрическое обрамление способствовало распространению специальной теории относительности. Его воздействие было очень сильным, хотя его приняли не сразу (настораживал тот факт, что чтобы оперировать физическими понятиями, требовалось обращаться к геометрии с ее отрицательными векторами). Эйнштейну это показалось поверхностной эрудицией, и в ответ Гильберт возразил: «Любой мальчик на улицах Гёттингена понимает в четырехмерной геометрии больше, чем Эйнштейн». Минковский изложил свою позицию в нескольких лекциях 1908 года, но не дождался их публикации и не успел насладиться успехом: в 1909 году ученый умер в результате осложнений после операции по удалению аппендикса. Эта потеря усилила депрессию, в которой Гильберт находился из-за нервного истощения.

ЭЙНШТЕЙН, ГИЛЬБЕРТ И УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

С 1911 года Эйнштейн направлял усилия на то, чтобы включить гравитацию в свою специальную теорию относительности. Он искал общую теорию. Несмотря на природное упрямство, Эйнштейн признал пользу выкладок Минковского, ведь они навели его на мысль, что ключ находится в геометрии. То есть чтобы представить эффекты гравитации посредством геометрической структуры пространства-времени, объекты должны располагаться в предусмотренном виде. Нужно было геометризовать гравитацию.

Как простыня, которую держат два человека, деформируется, когда на нее падает какой-то предмет, так и тело с огромной массой, как Земля, искривляет пространство- время вокруг него, и эта кривизна является причиной движений гравитационного притяжения, которое мы ощущаем на его поверхности.

В первых попытках математические выкладки Эйнштейна были довольно примитивными, и результаты их были незначительными. Если геометрия пространства-времени должна была зависеть от ее энергетико-материального содержания, то есть если гравитация должна была искривлять пространство-время, требовалась изменчивая геометрия, не заданная изначально и существенно отличающаяся от обычной. Знакомый математик указал Эйнштейну на классические работы Гаусса, Римана и в особенности на публикации Грегорио Риччи (1853-1925) и Туллио Леви-Чивита (1873-1941) в 1901 году. Последние содержали большую часть элементов геометрии Римана, необходимых для общей теории относительности. Вместе со своим другом Марселем Гроссманом (1878-1936) Эйнштейн начал изучать эти работы и обнаружил, что в них содержится необходимый ему математический аппарат, о котором он раньше не подозревал. В конце 1913 года физик и математик совместно опубликовали 28-страничную брошюру «Набросок обобщенной теории относительности и теории гравитации». Их целью было смоделировать Вселенную как геометрическую четырехмерную разновидность, снабженную римановой метрикой, или расстоянием, заданным тензором:

 ₄

ds²= g_ijd_xid_xj.

^i,J=1

Этот метрический тензор, который определял геометрические свойства (естественно, неевклидовы), характеризовал также гравитационное поле (см. рисунок на предыдущей странице). Однако уравнения гравитационного поля, содержащиеся в статье, не были верны, и вскоре от них отказались. Тогда для Эйнштейна начался долгий и утомительный период, прежде чем к концу ноября 1915 года он начал различать свет истины. Эйнштейн боролся с тензорным исчислением, чтобы получить правильные уравнения. Он внедрялся в область, куда осмелились ступить лишь некоторые математики. Одним из них был наш герой, Давид Гильберт.

С 1909-го и практически до 1920 года Гильберт демонстрировал большую склонность к теоретической физике, применяя к ней методы вариационного исчисления. Итогом этих лет стала книга, написанная в 1924 году в соавторстве с Рихардом Курантом. Учебник «Методы математической физики» в течение десятилетий пользовался огромным успехом. Гильберт направил свое внимание на насущные физические проблемы — атома и теории относительности. Благодаря поддержке Пауля Вольскеля, богатого немецкого промышленника, увлекавшегося математикой, Гильберт периодически организовывал в Гёттингене исключительные лекции и принимал знаменитых академиков из других стран (он шутил, что единственная причина, по которой он все еще не доказал последнюю теорему Ферма, состоит в задаче не получить 100 000 марок, назначенных за доказательство премии, и не сразить одним ударом курицу, несущую золотые яйца). Среди первых гостей были Пуанкаре и Лоренц, прочитавшие лекции по вопросам, связанным с релятивистской механикой. Но, пожалуй, самым нашумевшим событием стал приезд Эйнштейна в начале лета 1915 года. Это была их первая встреча. Эйнштейн читал цикл из шести лекций в Гёттингене и остановился в доме Гильбертов. Проведя несколько дней в его компании, Гильберт загорелся поставить свои математические способности на службу новым идеям гравитации. В течение последующих месяцев они оба лихорадочно работали, часто обмениваясь письмами. Они преследовали одну и ту же цель: найти уравнения общей теории относительности.

В какой-то момент Эйнштейна обеспокоила столь пылкая вовлеченность Гильберта в этот процесс, и когда в конце ноября 1915 года Гильберт предложил в письме Эйнштейну свои уравнения, тот, недавно нашедший итоговые уравнения общей теории относительности, сразу же обозначил собственное первенство. Гильберту оставалось только послать письмо с поздравлением.

УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Пространство-время Минковского четырехмерное. Материя искривляет его так, что объекты перестают двигаться по прямым линиям и начинают двигаться по кривым, по геодезическим, под действием гравитации или некоторого ускорения. Чем больше массы или энергии мы введем, тем больше искривится пространство-время Минковского. Отношение между присутствием массы-энергии и формы четырехмерного пространства-времени задано уравнениями поля Эйнштейна:

G = (8G)/(c⁴·T).

В левой части уравнения появляется G, то есть тензор кривизны Эйнштейна: он измеряет деформацию пространства и зависит, в свою очередь, от метрического тензора, от g_ij. расстояния. В правой части, кроме числа , постоянной всемирного тяготения G и скорости света с, появляется тензор энергия-импульс , который воплощает материю. Подводя итог: пространство диктует материи, как она должна двигаться, а материя обозначает для пространства, как оно должно искривляться. Отметим, что в 1917 году Гильберту удалось доказать: евклидова геометрия является настоящей геометрией Вселенной только тогда, когда тензор энергия-импульс точно равен нулю, то есть при отсутствии материи. В любом случае то, что евклидова геометрия была сброшена с пьедестала в глобальном отношении, ни в коем случае не означает, что она не несет локальной пользы в нашем окружении.

Считалось, что Гильберт вывел уравнения теории относительности гравитационного поля раньше, чем Эйнштейн, хотя он никогда не оспаривал его первенство. Гильберт отправил свою статью в печать 20 ноября 1915 года, за пять дней до Эйнштейна. Воспользовавшись своими обширными математическими знаниями, он сформулировал вариационный принцип, из которого выводились уравнения гравитации и электромагнетизма (Эйнштейн, наоборот, ограничился гравитационным взаимодействием.) Он утверждал, что законы физики определяются тем, что некоторый интеграл достигает своего минимума. С другой стороны, некоторая функция, зависящая от римановой метрики, остается инвариантной к произвольным трансформациям координат. С гравитацией и электромагнетизмом он хотел сделать то же самое, что уже было сделано для геометрии: четко установить основания и вывести результаты из минимального числа аксиом или базовых принципов. Аксиоматическая структура, дедуктивный метод и вариационное исчисление — это три основных составляющих вклада Гильберта в физику.