Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Но если статья Гильберта содержала уравнения общей теории относительности в виде, где была геометризована не только гравитация, но и электромагнетизм, и была отправлена в печать на пять дней раньше, чем статья Эйнштейна, разве не означает это, что честь открытия общей теории относительности принадлежит Гильберту, пусть даже Эйнштейн подготовил ему почву? Ответ на этот вопрос отрицательный по двум причинам. Первая: теория Гильберта не идентична теории Эйнштейна. Формально они равносильны, но различались по физической интерпретации. Для Эйнштейна аксиоматический метод не имел большой пользы в материи; кроме того, в отличие от большинства своих коллег, он не был сторонником идеи, что любая физическая теория должна быть выражена через вариационный принцип. Хотя сегодня имя Эйнштейна ассоциируется у нас с физиком-теоретиком, зацикленным на крайне абстрактных вопросах, следует понимать, что как в годы учебы, так и в период творческого расцвета он всегда был очень близок к экспериментальной реальности. Ему была в большей степени свойственна индукция, чем дедукция.

НАУКА И ВОЙНА

В 1914 году большая часть европейцев в эйфории приветствовала начало Первой мировой войны. Гильберт, наоборот, с первых дней не скрывал, что война кажется ему абсурдной. В августе этого года 93 знаменитых немецких интеллектуала направили манифест «К цивилизованному миру» в ответ на возрастающее возмущение действиями немецкой армии. Под влиянием националистической пропаганды Феликс Клейн подписал это обращение, поддерживающее политику кайзера. Попросили его подписать и Гильберта, но тот отказался, объясняя это тем, что не знает наверняка, являются обвинения в адрес немецких войск ложными или нет. Эта позиция сблизила его с пацифистом Эйнштейном, который тоже отказался подписывать манифест. В разгар войны, в 1917 году, Гильберт опубликовал некролог Жану Гастону Дарбу(1842-1917), выдающемуся французскому математику, в котором превозносил этого ученого. Когда студенты окружили его дом, требуя переписать заметку, Гильберт потребовал у них извинений (и получил их). В результате европейские коллеги увидели в нем человека свободного духом, презирающего традиции и условности. Так что по окончании войны, когда Германия была разгромлена, его репутация сохранилась, и на первом международном конгрессе математиков, состоявшемся в межвоенный период (Болонья, 1928, VIII Международный конгресс математиков), он не колеблясь настаивал на универсальном характере математики, поскольку любые границы — это против природы.

Жан Гастон Дарбу.

Вторая причина, более важная, состоит в том, что, как недавно выяснил историк математики Лео Корри, содержание статьи, представленной Гильбертом в Академию наук 20 ноября, не совпадает с опубликованным. Гильберт внес исправления 6 декабря с учетом представленного Эйнштейном 25 ноября. Похоже, Гильберт изменил свои уравнения, чтобы приспособить их к уравнениям Эйнштейна. Так что этот небольшой спор не вылился в долгосрочную вражду.

У нас произошла размолвка, причины которой я не хочу анализировать. [...] Просто стыдно подумать, что двое приличных людей, сумевших отчасти отрешиться от мелких страстей человечества, не могут наслаждаться общением друг с другом.

Альберт Эйнштейн в письме Гильберту от 20 декабря 1915 года

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Если исследовательский этап Гильберта в области вариационного исчисления привел его к разработке общей теории относительности, то период между 1904 и 1910 годами, который он посвятил интегральным уравнениям, позволил ему сделать то же с квантовой механикой. Речь, конечно же, о самом важном вкладе Гильберта в математический анализ и опосредованно в физику, о ряде статей, которые позже он объединил в монографии «Основания общей теории линейных интегральных уравнений» (1912), содержащей не только строгую математическую теорию, но и множество разнообразных физических применений — от кинетической теории газов до теории излучения.

Но начнем сначала. Для интегрального уравнения характерно, что неизвестная функция также появляется внутри интеграла. Например:

_b

x(t) + K(t,s)x(s)ds = f(t),

^a

где функция K(t, s) является ядром интегрального уравнения. При заданном ядре K(t, s) и функции f(t) (непрерывные функции) требуется найти неизвестную функцию x(t).

В XIX веке было сформулировано несколько интегральных уравнений по физическим вопросам, таким как проблема брахистохроны или проблема Дирихле. Но только в 1888 году Поль де Буа-Реймон (1831 — 1889) ввел термин «интегральные уравнения» для их обозначения и заявил о необходимости разработать общую теорию этих уравнений в качестве альтернативного метода решения задач с дифференциальными уравнениями.

В 1900 году шведский математик Ивар Фредгольм (1866- 1927) позаимствовал внешне безобидное замечание итальянского математика Вито Вольтерры (1860-1940) и предложил новый способ решения проблемы Дирихле с использованием интегральных уравнений. Изучив уравнения потенциала, или уравнения Лапласа с граничными условиями, Фредгольм трансформировал проблему в интегральное уравнение, как приведенное выше, и воспользовался схожестью этого интегрального уравнения и системы бесконечных линейных уравнений, когда интеграл заменяется суммами Римана. Интеграл — это процесс вычисления площади, ограниченной кривой. Сумма Римана — по сути, всего лишь равносильный способ вычисления значения интеграла: проводится конечное число прямоугольников внутри площади, ограниченной кривой, и эта площадь приближается к сумме площадей каждого из этих прямоугольников (см. рисунок). Когда число прямоугольников стремится к бесконечности, суммы Римана сходятся в точном значении интеграла. В этой технике интегральное уравнение разрастается в систему бесконечных линейных уравнений. Следовательно, решить отправное интегральное уравнение — значит решить всю систему бесконечных линейных уравнений.

Сумма Римана — это сумма площадей прямоугольников на рисунке, которая служит для приближения к площади, ограниченной кривой, то есть к интегралу функции f(x) от a до b.

Сенсационные результаты Фредгольма распространились со скоростью звука. Зимой 1900-1901 года гостивший в Гёттингене преподаватель провел аналогию между интегральными уравнениями и системами линейных уравнений на семинаре Гильберта, и тот живо заинтересовался данной темой и направил на нее всю свою производительность (в пылу он даже предсказал, что новый инструмент позволит в итоге доказать гипотезу Римана). Шесть работ на эту тему, опубликованные им между 1904 и 1910 годами, содержали зачатки нового ответвления анализа (функциональный анализ) и привели к понятию гильбертова пространства, основанию всей квантовой механики.

И СВЕРШИЛСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ!

Функциональный анализ изучает функции в совокупности, то есть пространства функций. Наиболее явные его истоки находятся в интегральных уравнениях, которые определяют алгебраизацию анализа (типичный подход функционального анализа), но также присутствуют в вариационном исчислении, где впервые появляются идеи множества функций, допустимых для решения проблемы и расстояния между функциями (через функционал). Математический аппарат, утвердившийся с функциональным анализом, в конце 1920-х годов обратился в столп целой физической дисциплины — квантовой механики. Благодаря этому ключевому факту его мощные формулировки, связанные с распространением квантовых выкладок, постоянно обновлялись.

Функциональный анализ обобщает геометрические понятия w-мерного пространства (расстояние, теорема Пифагора и другие) до функциональных пространств бесконечной размерности. Среди этих пространств бесконечной размерности выделяется так называемое гильбертово пространство, построенное в области интегральных уравнений самим Гильбертом, но аксиоматизированное в связи с квантовой механикой его талантливым учеником Джоном фон Нейманом, который назвал пространство именем своего учителя около 1930 года.

Гильбертово пространство в зачаточном виде появляется в статье 1906 года (четвертой из шести статей об интегральных уравнениях и первой настоящей статье о функциональном анализе). Можно сказать, что гильбертово пространство образуют функции, являющиеся решением интегральных уравнений. Когда Гильберт изучал интегральное уравнение, ему в голову пришла идея рассмотреть особую систему функций, которая выполняла бы некоторые свойства (для тригонометрической системы — быть базисом функционального пространства) и свести решение уравнения к определению коэффициентов неизвестной функции относительно этой системы (точнее, координат неизвестной функции относительно этого базиса пространства). Рассматривая тригонометрическую систему, он старался найти неизвестную функцию, представив ее с помощью коэффициентов Фурье (бесконечной последовательности чисел, позволяющих выражать функцию интегрируемого квадрата в виде суммы тригонометрических функций, умноженных на эти числа). Коэффициенты, как он заметил, удовлетворяли условию конечности суммы их квадратов. После подстановки этих отождествлений (или разработок) в интегральное уравнение проблема преобразилась в проблему решения бесконечного числа линейных уравнений с бесконечными неизвестными (коэффициентами функций из суммируемого квадрата). Продолжая данный пример, если в уравнении

_b

x(t) + K(t,s)x(s)ds = f(t),

^a

представить функции x(t), f(t) и K(t, s) их коэффициентами Фурье, то это уравнение записывается как бесконечная система уравнений:

xp + kpqxq = fp p = 1, 2, 3...

^g=1

при условии, что сумма различных коэффициентов в квадрате конечна, то есть

x2p < .

^p=1

Таким образом, при переходе из царства непрерывного в царство дискретного интеграл преобразуется в сумму (аналогичную операцию).