Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

С помощью подобных вычислений можно доказать, что любой оператор может быть представлен как интегральный оператор, так что обе квантовые механики оказываются принудительно унифицированными.

Схематическая диаграмма дельты Дирака: «функция», которая равна 0 во всех своих точках, кроме начала, где она равна бесконечности, чтобы таким образом интегрировать 1.

Для того чтобы все преобразования между представлениями квантовой механики работали корректно, Дирак был вынужден прибегнуть к использованию вымышленной математической сущности — дельта-функции, которая на самом деле функцией не была. Для физиков это стало полезной идеализацией, привести которую к строгому виду должны были математики. Для математиков, наоборот, это понятие оказалось подозрительным и не обладающим математической реальностью, его использование оправдывалось только физическими применениями. Дельта-функцию Дирака ждала печальная участь, поскольку лишь в 1950 году она нашла свое место в рамках теории распределений, созданной Лораном Шварцем (1915-2002). До этого из-за отсутствия у нее строгости она оставляла равнодушными математиков Гёттингена.

И именно тогда в Гёттинген приехал молодой Джон фон Нейман, чтобы поработать в качестве помощника Гильберта. Блестяще защитив докторскую диссертацию по теории множеств, он начал читать лекции по функциональному анализу вместе с Эрхардом Шмидтом в Берлине. В то время Гильберт пытался найти рациональную математическую модель для квантовой механики; но его аксиоматический подход развивался медленно, потому что ученый страдал злокачественной анемией (смертельным заболеванием, от которого он исцелился благодаря нетрадиционным методам). В 1926-1927 году Гильберт попросил своего ассистента по физике Лотара Нордгейма разложить для него по полочкам суть последних исследований, чтобы иметь возможность читать курс квантовой механики, применяя свой любимый аксиоматический метод. Фон Нейман вдохнул жизнь в проект. Под предводительством Гильберта они втроем ринулись искать строгое математическое оформление. Так, в 1927 году они вместе написали статью «Об основаниях квантовой механики». Гильберт хотел заставить работать интегральную формулировку физических проблем, более практичную, чем дифференциальный вариант, выраженный посредством волнового уравнения или дискретной версии в матричных терминах. Так же как и венгерский физик Корнелий Ланцош (1893-1974) в 1926 году (что любопытно, за месяц до того, как Шрёдингер опубликовал свое знаменитое уравнение), Гильберт, Нордгейм и фон Нейман разработали квантовую механику, пользуясь интегральными уравнениями. Однако результат этого первого приближения не был удовлетворительным, поскольку они не смогли избежать тупика дельты Дирака, чтобы перейти от одной формулировки к другой.

Фон Нейман закончил работу по аксиоматическому обоснованию квантовой механики в одиночку. Он сделал это в период с 1928 по 1932 год, опубликовав серию из пяти статей и монументальный трактат «Математические обоснования квантовой механики». Чтобы придать прочную математическую основу квантовой теории, он отказался от использования дельта-функций Дирака и от предпочтения интегральных уравнений Гильберта. У него было другое оружие: функциональный анализ. Он создал абстрактное аксиоматическое обрамление, гильбертово пространство, которое включало в себя частные матричный и волновой случаи.

«ОСНАЩЕННЫЕ» ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Квантовая механика фон Неймана, безупречная для математиков, столкнулась с тем, что физики предпочитали квантовую механику Дирака, которая оказалась более полезной, несмотря на отсутствие строгости. Благодаря работам Лорана Шварца и Александра Гротендика по функциональному анализу, в 1950-1960 годы дельта-функции приобрели статус математической природы, формализовавшись как обобщенные функции, или распределения. Так формализм Дирака перестал быть математически подозрительным, поскольку вошел в состав «оснащенных»гильбертовых пространств (или триплетов Гельфанда). Идея состоит в том, чтобы связать лучшее в формализме фон Неймана (строгое гильбертово пространство) и лучшее в формализме Дирака (полезная дельта-функция) внутри одной непротиворечивой математической структуры. С этой целью пытаются пойти дальше гильбертова пространства и включить такие своеобразные объекты, как дельта-функция, но не теряя в то же время хорошей геометрии гильбертова пространства. Решение заключается в рассмотрении структуры вокруг пространства, следуя духу теории распределений: взять обычное гильбертово пространство и оснастить его двумя другими пространствами — одним поменьше и другим побольше, — которые содержат соответственно все хорошие функции (тестовые функции) и все плохие функции (своеобразные функции, такие как Дирака). Множество из этих трех пространств называют«оснащенным»гильбертовым пространством, или триплетом Гельфанда.

Математические пространства, на которых были построены матричная и волновая механика, были очень разными: одно было дискретным и алгебраическим, другое — непрерывным и аналитическим. Как убедился фон Нейман, нет ничего удивительного в том, что их унификация не может быть достигнута без некоторого насилия над формализмом и математикой. Однако он заметил, что пространства функций, определенных в них, были в основном идентичными. Состояния атома были представлены в матричной механике посредством последовательностей чисел суммируемого квадрата, так что функциональное пространство, которое стояло за этим, было i₂, то есть гильбертовым пространством по определению. Волновые функции волновой механики всегда относились к интегрируемому квадрату, то есть принадлежали функциональному пространству L_r И для этих двух пространств действовала теорема Фишера — Риса, хорошо известная математикам с 1907 года и гласящая, что оба эти пространства изоморфны. Так фон Нейман решил головоломку математической эквивалентности квантовых механик, показав, что механика Гейзенберга (сосредоточенная на матрицах и суммах) и механика Шрёдингера (сосредоточенная на функциях и интегралах) математически эквивалентны, поскольку являются вычислениями в двух изоморфных, идентичных гильбертовых пространствах.

До этого времени под гильбертовым пространством понималось одно из двух конкретных пространств lb₂ или L_r Фон Нейман первым задумал абстрактное гильбертово пространство в современном его понимании. Избегая конкретных представлений, он работал с понятиями, полученными из аксиом, и пришел к распространению спектральной теории Гильберта в соответствии с квантовыми потребностями.

Гильберт еще в начале века установил основы пространства бесконечной размерности. Но волей судеб такая абстрактная математическая теория, задуманная с опережением в 20 лет, подошла к замку квантовой механики. С тех пор математическая структура квантовой физики сопряжена с гильбертовым пространством. Описание состояния квантовой системы делается через вектор этого пространства. И физические величины изучаются с помощью операторов, определенных в гильбертовом пространстве. В результате появления квантовой механики теория гильбертовых пространств оказалась аксиоматически обоснованной, чему Гильберт был свидетелем.

ГЛАВА 4

Кризис оснований

С развитием математической логики и теории множеств удалось приблизиться к понятию, которое до той поры казалось бесполезным, — бесконечность. Но при этом углубилась трещина, проходящая по основанию математики. Наличие многочисленных парадоксов показало, что здание математики построено на песке. Тогда математики включились в гонку переоснования своей науки. Некоторые ученые встали на сторону логицизма Фреге и Рассела, другие разделились на две непримиримые группы: лидером интуиционистов стал Брауэр, а формалистов возглавил Гильберт.

В 1920 году Гильберт направился в беспокойные воды оснований математики и до конца карьеры развивал исключительно эту область. В некоторой степени ученый с удвоенными усилиями возобновил свое исследование оснований математики, хотя на этот раз он был немного более амбициозен, чем 20 лет назад. Он действовал не в одиночку. Его верными оруженосцами стали Пауль Бернайс (1888-1977), один из его ассистентов в Гёттингене, и Вильгельм Аккерман (1896-1962), преподаватель средней школы, его бывший ученик (Гильберт отказался дать ему должность в университете, узнав, что тот намеревается обзавестись семьей, поскольку, по его мнению, это отвлекло бы его от исследовательской деятельности). Важной составляющей этой работы в долгий межвоенный период стали оживленные дискуссии немецкого математика и его ближайших коллег с виднейшими европейскими математиками, которые придерживались противоположных взглядов.

Началом размышлений вокруг предмета математики исторически считается последняя четверть XIX века. Однако любопытство в отношении природы математического знания не ново, ему 2000 лет. Первый кризис оснований произошел в Древней Греции, когда разрушилась пифагорова арифметика. Пифагорейцы полагали, что все числа рациональны, но вскоре выяснилось, что существуют также иррациональные числа (как V2). Открытие этих неизмеримых чисел вызвало раскол в их математике. Рациональные числа не полностью описывали действительность. Континуум действительных чисел (например, прямая) образован не дискретным набором индивидуальных атомов. Работы Евдокса (IV век до н.э.) по обоснованиям примирили сознание с иррациональной бесконечностью и заложили фундамент, на котором была воздвигнута евклидова геометрия.

Работы, связанные со вторым кризисом оснований, уже в XX веке разъясняли, в чем заключаются метод, строгость и истина новой математики — скорее аксиоматичной, чем интуитивной, скорее экзистенциальной, чем конструктивной. Нужно понимать, что не избежал Гильберт и подводных камней. В их числе выделим ряд антагонических понятий математики, которые возникли не из ничего, а уходят корнями в историю развития самой точной из наук. Распространение математического анализа с начала XIX века, наряду с зачатками теории множеств и математической логики, — это путеводная нить дисциплины, которая стала называться философией, или основаниями математики. Но вернемся на некоторое время к истокам.

БОГ — МАТЕМАТИК?

Платонизм — изначальная философия математики. Приверженцами этой позиции среди прочих были Платон, Кантор, Гёдель... Любопытно, что первым платоником был не Платон, а Пифагор, который слепо верил, будто все есть число и математические объекты реально существуют. Как числа, так и треугольники или окружности существуют сами по себе, независимо от их толкования и нашего представления о них. Неоплатоники во главе с Блаженным Августином (IV век) утверждали, что бесконечное количество чисел в действительности существует в божественном разуме. И кому хватило бы глупости утверждать, будто Бог прекращает счет на каком-то числе, каким бы большим оно ни было?