Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Наконец, в своей работе «Континуум» (1918) Герман Вейль попытался восстановить анализ с интуиционистских позиций. Он отказывался принимать произвольные множества натуральных чисел, учитывая только те бесконечные множества, которые можно было определить, построить. Поэтому ему удалось определить только те действительные числа, которые соответствуют арифметическому закону. То есть он восстановил только счетное количество несчетных чисел, которые составляют континуум. Для классического математика числовая прямая содержит все возможные последовательности Коши или сечения Дедекинда, а не только те, которые определимы, то есть те, которые можно уточнить с помощью построительного правила. И поскольку они представляют собой счетное количество, то оставляют числовую прямую полной отверстий, — это атомизированный континуум. Из чего следует, что интуиционистский анализ чрезвычайно отличается от классического. Математики-интуиционисты не принимают, например, теорему Больцано. И наоборот, классические математики не принимают многих результатов интуиционистов (для интуиционистов, например, не существует разрывных функций).

Интуиционистская реконструкция логики и математики не очень-то вдохновляла, хотя имела широкое распространение. Это была не реконструкция, а скорее разрушение. Интуиционистская математика искалечила классическую математику.

Снимок с торжества по случаю 60-летия Давида Гильберта. Рядом с ним вдова его друга Минковского (справа) и его жена Кёте. В тот период он полностью отдался спору с интуиционистами об основаниях математики.

Гильберт в своем саду вместе с Германом Вейлем, одним из своих любимых учеников, который, однако, выступал на стороне интуиционистов.

Ян Брауэр, нидерландский математик, который возглавил интуиционистское движение, считая своими предшественниками Канта, Кронекера и Пуанкаре. Самый ярый противник Гильберта.

Интуиционизм с его постоянным воззванием к конструктивности, основанной на временной перечислимости и на отказе от принципа «третьего не дано», выбросил за борт более половины классических достижений. С Брауэром математика обрела ясность, но математики наблюдали, как передовые теории, которые казались им прочными как скалы, обращаются в пепел. Хотя нидерландский математик без колебаний принял разрушение анализа, большая часть математического сообщества сочла это неприемлемым. Некоторые математики заговорили о «большевистской угрозе», которую несет Брауэр. И тут Гильберту пришлось вмешаться.

«ЖРЕБИЙ БРОШЕН»

Полемика между формализмом и интуиционизмом лежала в основе всего спора об основаниях в 1920 годы, при этом Гильберт и Брауэр были ее главными участниками. Спор, то ли из-за сложного характера Брауэра, то ли из-за большого авторитета Гильберта, перешел чисто академические границы и обрел форму личного противостояния. Началось оно в 1921 году, и сразу потеря в лагере Гильберта: дезертировал его блестящий ученик Герман Вейль. В этом году он опубликовал памфлет «О новом кризисе оснований математики», в котором поддерживал разгромные тезисы Брауэра и называл себя апостолом интуиционизма, предсказывая приход математической революции.

Спор затрагивал важнейшие стороны концепции математики Гильберта, но его бурная реакция отчасти объяснялась вопросами репутации. Если самый выдающийся ученик перешел в стан врага, почему этого не смогут сделать остальные?

В счастливые 1920-е, которые совпали с последним исследовательским этапом в его карьере, уже пожилой Гильберт посвятил себя спору об основаниях математики. И он вмешался в него со всем пылом, что определило в споре действительно новый поворот. Немец предложил «программу Гильберта» (уже намеченную в его знаменитой лекции в Париже в 1900 году), чтобы раз и навсегда заложить основы математики.

Для Гильберта наука была организмом, который растет и развивается одновременно во многих направлениях. Прояснение оснований с помощью аксиоматического метода было одной из фаз этого роста, и несмотря на всю важность, она необязательно была приоритетной. Для описания этой концепции Гильберт использовал характерную для себя метафору:

«Здание науки строится не как дом, где сначала закладывают прочный фундамент, а потом уже переходят к сооружению конструкции и отделке комнат. Наука прежде всего охватывает широкое пространство, чтобы иметь возможность свободно развиваться. И только после того, как проявляются первые признаки того, что ее слабый фундамент не выдерживает, принимаются за его укрепление и переопределение. Это признак не слабости науки, а наоборот. Это правильный и здоровый путь ее развития».

В математике время исследования оснований уже пришло. С 1900 года убежденный в надежности аксиоматического метода, который так хорошо себя показал в геометрии, Гильберт навязывал аксиоматический подход остальным математическим дисциплинам, в частности теории множеств, а также сделал первые шаги для основания математической теории доказательства. Пока платонизм и логицизм утверждали, что точностью математики ведает царствие небесное, а интуиционизм приписывал это человеческому разуму, формализм Гильберта связывал ее с исписанным листом бумаги. Математику можно рассматривать как игру знаков, лишенных значения, как цепь символов на бумаге, свободных от смысла, но подчиняющихся некоторым правилам, чтобы с ними можно было работать. Формалистская позиция, которую развили Гильберт и его соратники (Бернайс и Аккерман), предлагала решение, основанное на двух моментах: во-первых, на общей аксиоматизации математики и логики, а во-вторых, на доказательстве непротиворечивости этой формальной системы. Доказательство, что внутри системы нельзя вывести никакого противоречия, было краеугольным камнем формалистского здания.

Однако сперва требовалось дать отпор набравшему силу интуиционизму европейских математиков. После Первой мировой войны критика классической математики, сформулированная Брауэром и Вейлем, усилилась и побудила Гильберта попытаться искоренить все скептические сомнения. Гильберт осознавал, что позиция Брауэра и Вейля не лишена обоснования и нужно действовать осторожно, чтобы не спровоцировать парадоксы теории множеств. Но он не был готов отказаться ни от теории Кантора (не зря первой проблемой в списке 1900 года была его континуум-гипотеза), ни от достижений классической математики (включая достижения, полученные с использованием самой многострадальной аксиомы, аксиомы выбора). Значительная часть его успеха как математика обязана доказательствам существования, как раз против таких доказательств Брауэр (как до него Кронекер и Гордан) и выступал.

Пытаясь пресечь его влияние, Гильберт задался вопросом, что можно сделать, чтобы не отказываться от принципа исключенного третьего. По его мнению, отнять этот принцип у математика было равносильно тому, чтобы запретить астроному использовать телескоп или боксеру пускать в ход кулаки. Профессор из Гёттингена был удивлен и разочарован тем, что целый круг математиков, не церемонясь, заняли сторону противника, и это серьезно сказалось на математике. Континуум или трансфинитные числа Кантора оказались в положении обреченных математических объектов. А теорема, доказывающая существование бесконечного количества простых чисел, в свою очередь, была ярким примером запрещенного образа мысли. Действительно, принятие идеи, что любая значимая пропозиция либо истинна, либо ложна, является основополагающим для метода косвенного доказательства. Евклид доказал существование бесконечного количества простых чисел, продемонстрировав, что противоположный тезис является ложным, то есть воспользовавшись принципом исключенного третьего. Поскольку его доказательство не было конструктивным и не позволяло определить и-ное простое число, оно не годилось для интуиционистов.

По сравнению с классической интуиционистская математика предполагала жалкий остаток, ряд изолированных и бессвязных результатов. Постоянный страх Гильберта был вызван тем, что интуиционизму удастся расчленить математику и при этом будут утрачены ценные достижения. Он был насколько удручен этим положением вещей, что, борясь с интуиционизмом, даже переходил на личности и оперировал не совсем академическими аргументами:

«Программа Брауэра — это не революция, а банальное повторение старых методов [отсылка к Кронекеру] бесплодного поиска, который, даже если применить его с удвоенной силой, полностью проваливается. Сегодня мы вооружены благодаря работам Фреге, Дедекинда и Кантора. Попытки Брауэра и Вейля заранее обречены на поражение».

В конце десятилетия, когда борьба между двумя группами достигла апогея, Гильберт почувствовал, что силы на исходе и злокачественная анемия убивает его. И тогда он испугался, что после его смерти Брауэр обретет могущество и склонит к интуиционизму журнал Mathematische Annalen, который Гильберт возглавлял. В итоге в 1928 году он совершил немного грязный маневр и исключил Брауэра из редколлегии. Несмотря на возражения Эйнштейна, большинство ученых прислушались к воле Гильберта, и Брауэру пришлось уйти. Это столкновение надломило нидерландского математика, и он более чем когда-либо ударился в солипсизм. Гильберт назвал этот эпизод «войной мышей и лягушек». Гильберт выиграл битву, но не войну.