Волшебный двурог

прикрепляем к свободному концу линейки. Теперь, если натягивать кончиком карандаша нитку по линейке и в то же время поворачивать линейку около фокуса, карандаш начертит гиперболу.

— Это я тоже вычерчу! — отвечал Илюша. — А параболу?

— А параболу чертят при помощи линейки и угольника. Ты ставишь линейку по директрисе параболы и прикладываешь к ней вплотную угольник малым катетом. Потом берешь нитку, равную по длине большому катету, и закрепляешь ее с одной стороны в фокусе параболы кнопкой, а с другой — в конце большого катета, у острого угла. Натягиваешь нить карандашом, а в то же время заставляешь малый катет угольника скользить по линейке.

— Ну хорошо, — сказал Илюша. — А как же

Можно увидеть Лемнискату, если удастся достать арагонитовую либо селитряную пластинку и рассматривать ее в поляризованном свете.

— 377 —

решается уравнение третьей степени, то есть кубическое? Мы чертили график этого уравнения и находили максимум и минимум ординаты. А как найти корни?

— В частных случаях иногда кубическое уравнение решается довольно просто. Вот задача индусского математика Бхаскара Ачариа, жившего в двенадцатом веке нашей эры:

х³ — 6х² + 12x; = 35.

Достаточно в левой части прибавить и вычесть восемь, чтобы получить точный куб:

(х³ — 6x² + 12x — 8) + 8 = 35,

х³ — 6х² + 12х — 8 = 27;

(x — 2)³ = 27;

х — 2 = 3; х = 5.

Индусский математик нашел только один корень. Другие два будут комплексные, и их легко найти, выделив один из множителей нашего четырехчлена, то есть:

Вот как чертят параболу.

— 378 —

x³ — 6x²+ 12x — 35 = 0;

х³ — 5х² — х² + 5х + 7х — 35 = 0;

х²(х — 5) — х (x — 5) + 7 (х — 5) = 0;

(х — 5) (х² — х + 7) = 0.

Затем ты приравниваешь нулю трехчлен во второй скобке и решаешь квадратное уравнение. Так мы найдем два комплексных корня. А для общего случая есть специальная формула, открытая в шестнадцатом веке итальянским математиком Тарталья, хотя ее чаще называют формулой Кардана, по имени другого математика, современника Тартальи, который ее впервые опубликовал. История этого Тартальи весьма поучительна. В начале шестнадцатого века его родной город Брешиа взяли приступом неприятельские войска. Тарталья, шестилетний мальчик, был найден с разрубленным лицом около бездыханного тела своего отца. Из-за этой раны он так и остался заикой на всю жизнь, а «тарталья» как раз и значит «заика» — это не имя его, а прозвище. Мать его после кончины отца осталась в такой нищете, что взяла своего сынишку из школы, как только он выучил азбуку до буквы «к». Но мальчик горячо любил науку и сам выучился грамоте, потом древним языкам, без которых в то время нельзя было учиться дальше, а затем овладел математикой. А ведь он был до того беден, что даже не мог купить себе бумаги для вычислений и проделывал их на плитах старого кладбища! Тем не менее он стал ученым и сделал немало для алгебры [28] . Вот какая замечательная настойчивость!

28

Об этом подробнее смотри в Схолии Девятнадцатой.

— Как наш Ломоносов!

— Правильно! — отвечал Радикс. — Великий был человек Ломоносов. И не зря он выразил уверенность, «что может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать».

— А почему он вспоминает Платона?

— Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке [29] . Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола — немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.

29

В книге Ван-дер-Вардена «Пробуждающаяся наука» в главе VI «Век Платона» много интересного.

— 379 —

— Мне еще хочется узнать про максимумы, — попросил Илюша. — Это очень трудно — их определить?

— Да нет, — отвечал Радикс, — не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?

— Плохо я что-то понимаю эту задачу! — заметил Илюша.

— Ты слушай, — отвечал Радикс, — и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть

а + b = с.

Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:

(а + b)² = а² + 2ab + b² — (а — b)² = а² — 2ab + b² – ----------------------------- (a + b)² — (a — b)² = 4ab

Так как (а + b) равно с, то мы можем написать:

с² — (a — b)² = 4ab,

или так еще:

ab — c²/4 — (а — b)² / 4

Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab изменяется только в зависимости от изменения разности (а — b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а — b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?