Волшебный двурог

— Мне кажется, что этот тангенс как-то, может быть, и

— 383 —

грубо, но все же измеряет ту же самую скорость. Я заключаю это из того, что если все построение сдвинуть по абсциссе вправо или влево, не изменяя размеров приращения икса, то наклон секущей по отношению к положительному направлению оси абсцисс, — а следовательно, и тангенс соответствующего угла, — изменится. И изменится в соответствии с изменением скорости роста нашей функции.

— Превосходно, молодой человек! Но это все же еще не совсем точно. Давай-ка вычислим, чему же равно это отношение. Пусть до приращения икс достиг значения, которое мы обозначим просто х, а соответственный игрек — аналогично тоже просто буквой у, и пусть переменные, получив и та и другая свои приращения, получат значения x₁ и у₁. В таком случае можно написать, что

х = x₁ — х;

y = y₁ — y = (18x₁ — x₁²) — (18x — х²),

а следовательно, отношение их будет

x / y = (18x₁ — х₁² — 18x + х²) / (x₁ — x)

Вот что представляет собой тангенс наклона секущей. Ты был прав, говоря, что он измеряет скорость изменения функции. Но вот на что следует обратить внимание: а хорошо ли он ее измеряет? Ясно, что не очень хорошо, ибо его показания зависят от размера приращения независимой переменной. Это раз. Во-вторых, ясно, что секущая может дать указания на скорость лишь в среднем, на измеряемом промежутке, то есть только в общем, а отнюдь не в тех важнейших подробностях, которые могут понадобиться в исследовании. И вот в силу этих двух особенностей это показание недостаточно. Что же следует сделать и как с ним поступить, дабы его коренным образом улучшить? Для этого мы начнем сближать х₁ и х, тогда y₁ и у также начнут сближаться. И если мы будем все уменьшать и уменьшать расстояние между х₁ и х, то при безграничном уменьшении секущая… Что сделает наша секущая?

— А как ты будешь уменьшать? — спросил в свою очередь Илья, глянув на чертеж.

— Я буду придвигать х₁ к х справа налево.

— В таком случае

— 384 —

секущая станет поворачиваться около точки A^{15}. И в конце концов она станет не секущей, а касательной.

— Я бы только сказал не «в конце концов», а в пределе. Так! Ну, а теперь посмотрим, что получится с этим уменьшением приращений не на чертеже, а в нашей формуле отношения приращений:

x / y = (18x₁ — х₁² — 18x + х²) / (x₁ — x)

Дальнейшие преобразования уже несложны:

x / y = (18x₁ — х₁² — 18x + х²) / (x₁ — x) = [18(x₁ — x) — (х₁² — х²)] / (x₁ — x) =

= [18(x₁ — x) — (х₁ — х)(х₁ + х)] / (x₁ — x) = 18 — (х₁ + х)

Теперь, если х₁ безгранично приближается к х, а у₁ тем же порядком приближается к у, то, очевидно, мы уже получаем полное право в пределе не делать отличия между х₁ и х, а просто положить их равными друг другу. Тогда правая часть последней формулы превратится в

18 — 2х.

Это и будет искомая производная. А чтобы найти максимум, мы должны приравнять ее нулю, решить получившееся уравнение относительно икса — и все. Отмечу еще, что предел отношения обозначается теперь уже не через отношение дельт, а через отношение латинских d; пишется

dy / dx = 18 — 2х ,

а читается «дэ игрек по дэ икс». Но, конечно, для более сложных функций все это сделать труднее. Дифференциальное исчисление и занимается установлением формул и правил, с помощью которых можно, зная выражение у через х, найти закон «изменения скорости изменения» у, то есть найти выражение для производной dy / dx. Интегральное исчисление, как мы выяснили, занимается обратной задачей.

— Очень хорошо! — воскликнул Илюша. — Теперь еще только один вопрос. Ты обещал рассказать про гору Пюи-де-Дом и Паскаля.

— 385 —

— Хорошо! Это происходило в то самое время, когда европейские мыслители нового времени начали деятельно и успешно бороться со схоластическим (только не путан с нашими схолиями!) мировоззрением. Схоласты старались все доказывать не опытным путем, а при помощи ссылок на авторитеты. Дело доходило до очень смешных, с нашей точки зрения, разговоров. Одни из очень видных схоластических мудрецов, например, утверждал, что чудеса, о которых рассказывают монахи, вещь вполне возможная, и ссылался при этом всерьез на поэмы римского стихотворца Овидия, который просто писал очень красивые и замысловатые сказки в стихах о волшебных превращениях [30] . А наш мудрец все это принял за чистую монету. Если так рассуждали в то время ученые-философы, то можешь себе представить, что делали люди менее образованные! Так вот, в то время единственным авторитетом в области физики признавался Аристотель. И мнения этого «великого стагирита», то есть уроженца города Стагиры, нельзя было оспаривать. Аристотель объяснял явление всасывания, которое наблюдается в насосе, тем, что «природа боится пустоты». Эта странная черта характера природы никого не удивляла, никто и не подумал найти ее причину, и дальше этого объяснения не шли. Но в семнадцатом веке, когда техника уже значительно ушла вперед и, в частности, в связи с развитием горного дела развилась техника водоотливных средств, Торичелли под влиянием Галилея произвел замечательные опыты и неожиданно для всех мудрецов нашел свою знаменитую «торичеллиеву пустоту». Паскаль повторил опыты Торичелли, но с очень важным усложнением; он делал их на разной высоте над уровнем моря, дабы обнаружить различия в давлении атмосферы на разных высотах, вполне объясняющие боязнь пустоты. Это ему удалось в полной мере. По просьбе Паскаля его шурин проделал опыты на горе Пюи-де-Дом, на сравнительно большой высоте. Паскаль так ценил эти опыты на горе Пюи-де-Дом, что придумал себе даже особенный псевдоним «Луи де Монтальт», что обозначает «Луи с Высокой Горы». Это был великий бой ученых с невежеством, и высота Пюи-де-Дом, этот Монтальт Паскаля, осталась в этой битве за нами!

30

Замечательный римский поэт Публий Овидий Назон жил в Риме на самом рубеже древней и нашей эры.

Имел он песен дивный дар И голос, шуму вод подобный…

Так сказал о нем наш дорогой Пушкин в «Цыганах». А в «Евгении Онегине» Пушкин вспоминает о том, как Овидий умер изгнанником:

В Молдавии, в глуши степей, Вдали Италии своей.

— 386 —

— Ура! — закричал Илюша. — Наша взяла! А отбить они ее уже больше не могли?

— Нет! Шалишь! — отвечал Радикс. — Противник предпринимал неоднократные контратаки, но был отбит с тяжелыми потерями.

— Так им и надо! А теперь расскажи мне подробней о Галилее.

— Видишь ли, — не сразу ответил Радикс, — дело не столько в самой математике у Галилея, сколько в его прогрессивных научных стремлениях и в распространении его убеждений. Вместо схоластических разглагольствований и бесконечных ссылок на древних, он пытался находить законы природы, определить их и математически сформулировать. Он сам говорил: «Геометрия учит нас изобретательности», то есть геометрия учит ставить физический опыт так, чтобы его результат можно было бы изложить просто, кратко и ясно при помощи математической формулы. Галилей исследовал законы падения тел. И помогли ему в этом Архимед, Аполлоний, а также и древние вавилоняне.