Вселенная

Это «абдукция». Основа науки и других форм эмпирических рассуждений. Теорема Байеса — это количественное выражение такой неформальной логики. Она предлагает универсальную модель рассуждения о степени уверенности: априорные субъективные вероятности уточняются по мере поступления новой информации и в зависимости от того, насколько эта информация согласуется с каждой из исходных возможностей.

* * *

В байесовских рассуждениях особенно интересен такой акцент на априорных субъективных вероятностях. Случай с покерными раздачами не слишком впечатляет: априорные вероятности напрямую проистекают из шансов получить различные карты. Но область применения этой концепции гораздо шире.

Допустим, как-то вечером вы с другом пьёте кофе, и тут он высказывает одно из следующих трёх утверждений:

• «Сегодня утром мимо моего окна проехал велосипедист»;

• «Сегодня утром мимо моего окна проскакал всадник»;

• «Сегодня утром мимо моего окна проскакал всадник без головы».

В каждом случае вы получаете, в сущности, равнозначную информацию: друг уверенно сообщает вам один из трёх фактов. Тем не менее субъективная вероятность, то есть степень достоверности, которую вы присвоите каждой из озвученных возможностей, во всех трёх случаях принципиально различается. Если вы живёте в городе или пригороде, то гораздо легче поверить в то, что друг видел велосипедиста, нежели всадника, — разве что офицеры полиции у вас в городе часто ездят верхом либо в городе проводят родео. Если вы живёте в сельской местности, где лошади не редкость, а дороги незаасфальтированы, то встреча со всадником может показаться вероятнее, чем встреча с велосипедистом. Наконец, вы значительно более скептически отнесётесь к утверждению о том, что мимо окна проскакал всадник без головы.

В данном случае у вас просто есть априорные вероятности. В зависимости от того, где вы живёте, априорная субъективная вероятность встречи с велосипедистом или всадником будет варьироваться, но в любом случае вероятность встретить всадника без головы однозначно гораздо ниже, чем всадника с головой. Это совершенно нормально. На самом деле, любой байезианец вам расскажет, что иначе и быть не может. Всякий раз, когда мы рассуждаем о вероятной истинности различных утверждений, наш ответ есть комбинация априорной субъективной вероятности, которую мы присваиваем данному утверждению, и вероятности получения различной новой информации, позволяющей проверить истинность этого утверждения.

Учёным часто приходится оценивать «эпохальные» утверждения. В 2012 году физики, работающие на Большом адронном коллайдере, объявили об открытии новой частицы — скорее всего, неуловимого бозона Хиггса. Их коллеги во всём мире с готовностью поверили этому утверждению, отчасти потому, что у них были серьёзные теоретические основания полагать, что бозон Хиггса будет найден именно там, где нашли эту частицу; априорная вероятность была относительно высока. Напротив, в 2011 году группа физиков объявила, что им удалось зафиксировать пучок нейтрино, двигавшихся быстрее скорости света. Это известие вызвало всеобщий скепсис. Он касался не профессионализма экспериментаторов — просто для большинства физиков априорная субъективная вероятность того, что какая-либо частица может двигаться быстрее скорости света, крайне мала. Действительно, спустя несколько месяцев эти первооткрыватели признали, что допустили ошибку в расчётах.

Есть старая шутка об экспериментальном результате, который «подтверждается теорией»; напротив, принято считать, что это теории подтверждаются или опровергаются экспериментами. Соль этой шутки — байесовская: в ошеломительное утверждение проще поверить, если для него уже есть убедительное теоретическое объяснение. При наличии такого объяснения в первую очередь повышается априорная субъективная вероятность, которую можно присвоить данному утверждению.

Глава 10

Обновление базы знаний

Признав, что каждый из нас ориентируется на богатый набор априорных субъективных вероятностей, важно уточнять эти вероятности по мере поступления новой информации. Для этого нужно дать более строгую формулировку теоремы Байеса.

Вернёмся к нашей дружеской партии в покер. Мы знаем, какие карты у нас на руках, но не знаем карт оппонента. Таким образом, мы оказываемся в ситуации, когда возможны самые разные «посылки» (гипотезы об истинности чего-либо), и при этом имеем исчерпывающий список всех возможных посылок. В данном случае посылки соответствуют всем различным картам, которые могут прийти нашему сопернику в исходной покерной раздаче (ничего, пара, что-то лучше пары). Иными словами, они годятся в качестве возможных интерпретаций любых утверждений нашего друга (утверждение истинно; он искренне считает его истинным, но оно ошибочно; утверждение ложно). Также имеем здесь набор конкурирующих онтологий (натурализм, вера в сверхъестественное, нечто более экзотическое).

Каждой рассматриваемой посылке мы присваиваем априорную субъективную вероятность. Для наглядности представим субъективные вероятности, разложив песчинки по баночкам. Каждая баночка соответствует определённой посылке, а число песчинок в баночке пропорционально субъективной вероятности, присваиваемой данной посылке. Субъективная вероятность суждения X — это просто доля общего числа песчинок, соответствующая числу песчинок, оказавшихся в баночке X:

Субъективная вероятность суждения X = Песчинки в баночке X / Песчинки во всех баночках

Назовём это «правилом песчинок».

Теорема Байеса указывает, как уточнять такие вероятности по мере поступления новой информации. Допустим, мы получили информацию в виде каких-то данных — например, узнали, сколько карт набрал соперник. Тогда из каждой баночки мы удаляем некоторое количество песка, соответствующее вероятности того, что мы не получили бы этой информации, окажись соответствующая посылка верной. Если мы считаем, что соперник заменит ровно одну карту всего в 10% случаев, если у него есть пара, то, как только он заменит одну карту, мы удаляем 90% песчинок из банки, на которой написано «пара». Затем проделываем аналогичную вещь со всеми остальными банками. В результате наше правило песчинок вновь подтверждается: субъективная вероятность посылки X равна числу песчинок в баночке X, делённому на общее число песчинок во всех баночках.

В ходе этой процедуры априорные субъективные вероятности перевзвешиваются и дают в итоге апостериорные субъективные вероятности. Можно начать с ситуации, когда в нескольких баночках содержится примерно поровну песчинок — это означает, что субъективные вероятности равны. Но затем мы получаем новую информацию, которая будет вероятна при одних посылках и маловероятна при других. Мы убираем совсем немного песка из тех баночек, для которых эта информация была вероятна, и много песка из тех, для которых маловероятна. Получается, что в баночках, которым соответствует наибольшая степень вероятности, скапливается больше песка — их апостериорная субъективная вероятность оказывается выше. Разумеется, если наша априорная субъективная вероятность для одной из посылок была гораздо выше, чем для альтернативных версий, то нам придётся удалить из «её» баночки очень большое количество песка (собрать много данных, кажущихся маловероятными при данной посылке), чтобы присущая данной посылке субъективная вероятность стала небольшой. Когда априорные показатели очень низки или очень высоки, нам понадобятся нетривиальные данные, чтобы эти субъективные вероятности изменились.

* * *

Рассмотрим другой пример: вы, старшеклассник, влюбились в девушку и хотите пригласить её на выпускной бал. Вопрос: она согласится или откажет? Итак, есть две разные посылки: «да» (она пойдёт с вами на выпускной бал) или «нет» (откажет), причём для каждой посылки есть субъективная априорная вероятность. Будем оптимистичны и присвоим субъективную вероятность 0,6 положительному ответу и 0,4 отрицательному (разумеется, общая субъективная вероятность всегда должна давать в сумме единицу). Ставим две баночки, в одну насыпаем 60 песчинок («да»), в другую — 40 («нет»). Общее число песчинок не имеет значения — важны лишь относительные пропорции.

Далее мы собираем информацию и на её основании уточняем априорные вероятности. Вы стоите у шкафчика с одеждой, а мимо по коридору идёт ваша пассия. Она с вами поздоровается или просто пройдёт мимо? Это зависит от её отношения к вам: гораздо вероятнее, что она остановится и поприветствует вас, если также склонна составить вам компанию на выпускной. Вы недурно разбираетесь в человеческих взаимоотношениях и понимаете, что, если верна посылка «да», девушка остановится и поприветствует вас в 75% случаев, а в 25% случаев просто пройдёт мимо (может быть, она просто не в духе). Однако, если верна посылка «нет», ситуация уже не столь радужная: в 30% случаев девушка скажет «привет», а в 70% случаев пройдёт мимо. Таковы шансы на получение различной информации при верности тех или иных посылок. Давайте соберём данные и уточним наши априорные субъективные вероятности!