Юный техник, 2009 № 11

в) имеет ровно одно решение?

Найдите эти решения (для пунктов б) и в)).

7. Биссектриса угла Апараллелограмма ABCDпересекает продолжение стороны CDза точку Св точке F, а биссектриса угла Впересекает продолжение стороны CDза точку Dв точке Е. Известно, что LAFE= 30°, ВС= 7, EF= 12. Найдите длину отрезка BH, где Н— это точка пересечения двух данных биссектрис.

8. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить 286 м ³древесины. Первые шесть дней бригада выполняла установленную планом ежедневную норму, а затем каждый день заготавливала на 9 м ³больше плановой нормы. Поэтому за день до срока было заготовлено 296 м ³древесины. Сколько кубических метров древесины в день бригада должна была заготавливать по плану?

9. В прямоугольный треугольник с периметром 36 вписана окружность. Гипотенуза точкой касания делится в отношении 2:3. Найдите длины сторон треугольника.

10. Требуется соорудить железнодорожную насыпь, имеющую 170 метров в длину, а в поперечном сечении — равнобокую трапецию с нижним основанием, равным 6 м, и углом откоса, равным 45°. Какую высоту hможет иметь эта насыпь, чтобы объем земляных работ составил не менее 850 м ³, но не более 1190 м ³. (Объем насыпи равен произведению ее длины на площадь ее поперечного сечения.)

11. а) Изобразите на координатной плоскости фигуру М, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

б) Найдите площадь фигуры М.

12. Решите уравнение:

13. Дана окружность с центром в точке Орадиуса 2.

Из конца отрезка ОР, пересекающегося с окружностью в точке К, проведена касательная РЕк окружности ( Е— точка касания), причем L ЕРО= 60°. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков РЕ, РКи дуги КЕ.

14. Известно, что sin + sin3 = 0,7. Найдите значение выражения cos6 — cos 2 + 2cos4.

ФИЗИКА

1. В сосуде с горизонтальным дном и вертикальными стенками налита вода. Площадь основания внутренней части сосуда S= 25 см ². Металлический цилиндр с площадью основания S ₁= 10 см ²установили торцом на дно сосуда. При этом уровень воды составляет h ₁=10 см, а верхний торец цилиндра выступает из воды. Определите массу воды в сосуде.

2. Населенные пункты Аи Б, расстояние между которыми L= 70 км, соединяет прямолинейный участок шоссе. Из пунктов Аи Бодновременно навстречу друг другу начинают движение автобус и легковой автомобиль. Скорость автомобиля равна 80 км/ч. На рисунке представлен график, на котором показано, как изменилось расстояние между ними с момента выезда до момента встречи. Найдите скорость автобуса.

Через какое время после момента встречи с легковым автомобилем автобус доедет до пункта Б? Считать, что скорости автобуса и автомобиля оставались постоянными во время всего движения.

3. Три бегуна участвуют в забеге на 400 м, располагаясь на соседних дорожках. Спортсмен, стартовавший по первой дорожке, финишировал первым через 56 с, бегун на третьей дорожке отстал от победителя на 2 с. Определите скорость бегуна на второй дорожке, если известно, что в момент финиша победителя все три бегуна располагались на одной прямой. Скорости бега спортсменов считать постоянными на всей дистанции.

4. Пружина динамометра имеет в недеформированном состоянии длину l ₀= 20 см. Под действием силы F= 1H она удлинилась на 1 %. Если к этому динамометру подвесить медный шар, то пружина удлинится на l= 5 мм.

Чему равен объем медного шара? Считать g= 9,8 Н/кг.

5. Сосуд с вертикальными стенками состоит из двух цилиндров: нижнего узкого высотой Ни площадью поперечного сечения S ₁и верхнего широкого площадью поперечного сечения S ₂. При наливании в сосуд воды объемом V ₁уровень воды устанавливается ниже H, а давление воды на дно сосуда оказывается равным Р ₁. При доливании в сосуд воды объемом V ₂уровень воды поднимается выше H, а давление воды на дно сосуда оказывается равным Р ₂. Найдите Ни S ₁, считая величины S ₂, V ₁,V ₂, Р ₁, Р ₂и плотность воды известными. Атмосферное давление не учитывать.

6. Тонкостенный стакан цилиндрической формы плавает в вертикальном положении дном вниз в сосуде с водой. Высота части стакана, находящейся в воде, равна h, высота всего стакана равна Н. Какой максимальной толщины слой масла можно долить в стакан, чтобы он еще не утонул? Плотность масла и воды известны.

7. Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра разной длины, прижатых друг к другу торцами. Цилиндры имеют одинаковые площади поперечного сечения, но изготовлены из материалов с плотностями ₁= и ₂ = 2. Оказалось, что стержень будет находиться в равновесии в горизонтальном положении, если его подвесить на нити, закрепленной на месте стыка. Определите отношение масс цилиндров.

8. Экспериментатору требуется нагреть воду от t ₁= 10 °C до температуры кипения при нормальных условиях. Для этого он одновременно включает в сеть два нагревателя. Первый нагреватель, имеющий мощность P ₁= 500 Вт, установлен в стеклянном сосуде массой m _c,1= 200 г, содержащем V ₁= 0,5 л воды. Второй нагреватель имеет мощность Р ₂= 1,2 кВт и установлен в стеклянном сосуде массой m _c,2= 500 г, содержащем V ₂ = 1 л воды. В каком из сосудов вода нагреется быстрее? Найдите время, необходимое для нагревания воды до температуры кипения в каждом из сосудов. Считать начальные температуры воды и сосудов равными, потерями теплоты пренебречь.

Удельная теплоемкость воды с _в= 4200 Дж/(кг•°С), удельная теплоемкость стекла с _с = 840 Дж/(кг•°С).

9. В сосуд, где находится вода при температуре t _в= 90 °C, помещают нагретый стальной брусок массой, равной массе воды. Найдите начальную температуру стального бруска, если известно, что после прекращения кипения в сосуде установилась температура t= 100 °C и уровень воды остался первоначальным.