Живая математика. Математические рассказы и головоломки

94. Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т. е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое-либо из прочих 63 полей. Значит, к каждому из 64 положений первой шашки можно присоединить 63 положения второй шашки. Отсюда общее число различных положений двух шашек на доске

64 х 63 = 4032.

95. Наименьшее целое число, какое можно написать двумя цифрами, не 10, как думают, вероятно, иные читатели, а единица, выраженная таким образом:

Знакомые с алгеброй прибавят к этим выражениям еще ряд других обозначений:

1°, 2°, 3°, 4° и т. д. до 9°,

потому что всякое число в нулевой степени равно единице [36] .

96. Надо представить единицу как сумму двух дробей:

Знающие алгебру могут дать еще и другие ответы:

123456789°; 234567^9-8-1 и т. п.,

так как число в нулевой степени равно единице.

36

Но неправильны были бы решения °/₀или 0°: эти выражения необязательно равны единице.

97. Два способа таковы:

Кто знает алгебру, тот может прибавить еще несколько решений, например:

99. Число 100 можно выразить пятью одинаковыми цифрами, употребив в дело единицы, тройки и - всего проще - пятерки:

100. На вопрос задачи часто отвечают: 1111. Однако можно написать число во много раз большее - именно 11 в одиннадцатой степени: 11¹¹.

Если у вас есть терпение довести вычисление до конца (с помощью логарифмов можно выполнять такие расчеты гораздо скорее), вы убедитесь, что число это больше 280 миллиардов. Следовательно, оно превышает число 1111 в 250 миллионов раз.

101. Заданный пример деления может соответствовать четырем различным случаям, а именно:

1 337 174: 943 = 1418,

1 343 784: 949 = 1416,

1 200 474:846 = 1419,

1 202 464:848 = 1418.

102. Этот пример отвечает только одному [37] случаю деления:

37

Позже обнаружены еще три решения.

7 375 428 413:125 473 = 58 781.

Обе последние, весьма нелегкие задачи были впервые опубликованы в американских изданиях: «Математическая газета», 1920 г. и «Школьный мир», 1906 г.

103. В квадратном метре тысяча тысяч квадратных миллиметров. Каждая тысяча приложенных друг к другу миллиметровых квадратиков составляет 1 м; тысяча тысяч их составляет 1000 м, т. е. 1 км: полоска вытянется на целый километр.

104. Ответ поражает неожиданностью: столб возвышался бы на… 1000 км.

Сделаем устный расчет.

В кубометре содержится кубических миллиметров тысяча х тысячу х тысячу. Каждая тысяча миллиметровых кубиков, поставленных один на другой, дадут столб в 1000 м = 1 км. А так как у нас кубиков еще в тысячу раз больше, то и составится 1000 км.

105. Из рис. 136 видно, что (вследствие равенства углов 1 и 2) линейные размеры предмета так относятся к соответствующим размерам изображения, как расстояние предмета от объекта относится к глубине камеры. В нашем случае, обозначив высоту аэроплана над землей в метрах через х, имеем пропорцию:

12000: 8 = х: 0,12,

откуда х = 180 м.

Рис. 136. Расчет высоты аэроплана

Рис. 137

Рис. 138

Рис. 139

106. Расчеты подобного рода выполняются в уме так. Надо умножить 89,4 г на миллион, т. е. на тысячу тысяч. Умножаем в два приема:

89,4 х 1000 = 89,4 кг,

потому что килограмм в тысячу раз больше грамма. Далее:

89,4 кг х 1000 = 89,4 т,

потому что тонна в тысячу раз больше килограмма. Итак, искомый вес - 89,4 т.

107. Всех путей по просекам от А до В можно насчитать 70. (Систематическое решение этой задачи возможно с помощью так называемого Паскалева треугольника, рассматриваемого в курсах алгебры.)

108. Так как сумма всех чисел, обозначенная на циферблате, равна 78, то числа каждого из шести участков должны составлять вместе 78: 6, т. е. 13. Это облегчает отыскание решения, которое показано на рис. 137.

109-110. Решения показаны на прилагаемых рис. 138 и 139.

Рис. 140

111. Трехногий стол всегда может касаться пола концами своих трех ножек, потому что через каждые три точки пространства может проходить плоскость, и притом только одна. В этом причина того, что трехногий стол не качается; как видите, она чисто геометрическая, а не физическая. Вот почему так удобно пользоваться треногами для землемерных инструментов и фотографических аппаратов. Четвертая нога не сделала бы подставку устойчивее; напротив, пришлось бы тогда всякий раз заботиться о том, чтобы подставка не качалась.

112. На вопрос задачи легко ответить, если сообразить, какое время показывают стрелки. Стрелки на левых часах (рис. 140) показывают, очевидно, 7 час. Значит, между концами этих стрелок заключена дуга в ⁵/₁₂ полной окружности.

В градусной мере это составляет

Стрелки на правых часах показывают, как нетрудно сообразить, 9 ч 30 мин. Дуга между их концами содержит 3 % двенадцатых доли полной окружности, или ⁷/₂₄.

В градусной мере это составляет

113. Принимая рост человека в 175 см и обозначив радиус Земли через R, имеем:

2 х 3,14 х (R + 175) - 2 х 3,14 х R = 2 х 3,14 х 175 = 1099 см,

т. е. около 11 м.

Рис. 141

Поразительно здесь то, что результат совершенно не зависит от радиуса шара и, следовательно, одинаков на исполинском Солнце и маленьком шарике.