Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Какую дыню выгоднее купить?

83. Вишня

Мякоть вишни окружает косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня, и косточка имеют форму шариков.

Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?

Рис. 107

84. Модель башни Эйфеля

Башня Эйфеля в Париже, 300 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около 8 000 000 кг.

Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, весящую всего только 1 кг. Какой она будет высоты? Выше стакана или ниже?

85. Две кастрюли

Имеются две медные кастрюли одинаковой формы и со стенками одной толщины. Первая в 8 раз вместительнее второй.

Во сколько раз она тяжелее?

Рис. 108. Башня Эйфеля в Париже

86. На морозе

На морозе стоят взрослый человек и ребенок, оба одетые одинаково.

Кому из них холоднее?

87. Сахар

Что тяжелее: стакан сахарного песку или такой же стакан колотого сахара?

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 64 - 87

64. На первый взгляд задача эта кажется не относящейся вовсе к геометрии. Но в том-то и состоит овладение этой наукой, чтобы уметь обнаруживать геометрическую основу задачи там, где она замаскирована посторонними подробностями. Наша задача по существу, безусловно, геометрическая; без знания геометрии ее не решить.

Итак, почему же передняя ось телеги стирается больше задней? Всем известно, что передние колеса меньше задних. На одном и том же расстоянии малый круг оборачивается большее число раз, чем круг покрупнее: у меньшего круга и окружность меньше - оттого она укладывается в данной длине большее число раз. Теперь понятно, что при всех поездках телеги передние ее колеса делают больше оборотов, нежели задние; а большее число оборотов, конечно, сильнее стирает ось.

65. Если вы полагаете, что в лупу угол наш окажется величиною в 1 ¹/₄ х 4 = 6°, то дали промах. Величина угла нисколько не увеличивается при рассматривании его в лупу.

Рис. 109. Передние колеса телеги меньше задних

Правда, дуга, измеряющая угол, несомненно, увеличивается, но во столько же раз увеличивается и радиус этой дуги, так что величина центрального угла остается без изменения. Рис. 109 поясняет сказанное. Невозможность увеличения углов лупой вытекает, между прочим, и прямо из того, что фигуры при рассматривании в лупу сохраняют геометрическое подобие самим себе. Если бы каждый угол многоугольника увеличивался в 4 раза, то мы видели бы в лупу квадраты с углами в 360° или треугольники, сумма углов которых равна 8 прямым!

Рис. 110

66. Рассмотрите рис. 110, где MAN есть первоначальное положение дуги уровня, M’BN’- новое ее положение, причем хорда JVPN' составляет с хордой MN угол в ¹/ ₂°. Пузырек, бывший раньше в точке А, теперь остался в той же точке, но середина дуги MN переместилась в В. Требуется вычислить длину дуги АВ, если радиус ее равен 1 м, а величина дуги в градусной мере ¹/ ₂° (это следует из равенства острых углов с перпендикулярными сторонами). Вычисление несложно. Длина полной окружности радиусом в 1 м (1000 мм) равна 2 х 3,14 х 1000 = 6280 мм. Так как в окружности 360°, или 720 полуградусов, то длина одного полуградуса определяется делением:

6280: 720 = 8,7 мм.

Пузырек отодвинется от метки (вернее, метка отодвинется от пузырька) примерно на 9 адм - почти на целый сантиметр. Легко видеть, что чем больше радиус кривизны трубки, тем уровень чувствительнее.

67. Задача вовсе не шуточная и вскрывает ошибочность обычного словоупотребления. У «шестигранного» карандаша не 6 граней, как, вероятно, полагает большинство. Всех граней у него, если он не очинен, 8: шесть боковых и еще две маленькие «торцовые» грани. Будь у него в действительности 6 граней, он имел бы совсем иную форму - бруска с четырех-угольным сечением. Привычка считать у призм только боковые грани, забывая об основаниях, очень распространена. Многие говорят: «трехгранная» призма, «четырехгранная» призма и т. д., между тем как призмы эти надо называть: треугольная, четырехугольная и т. д.
– по форме основания. Трехгранной призмы, т. е. призмы о трех гранях, даже и не существует.

Поэтому карандаш, о котором говорится в задаче, правильно называть не шестигранным, а шестиугольным.

68. Сделать надо так, как показано на рис. 111. Получаются 6 частей, которые для наглядности перенумерованы.

69. Спички следует расположить, как показано слева на рис. 112; площадь этой фигуры равна учетверенной площади «спичечного» квадрата.

Как в этом удостовериться?

Дополним мысленно нашу фигуру до треугольника. Получится прямоугольный треугольник, основание которого равно 3, а высота 4 спичкам [25] . Площадь его равна половине произведения основания на высоту:

25

Читатели, знакомые с так называемой «пифагоровой теоремой», поймут, почему мы с уверенностью можем утверждать, что получающийся здесь треугольник – прямоугольный: З²+ 4²= 5².

т. е. 6 квадратам со стороною в одну спичку. Но наша фигура имеет, очевидно, площадь, которая меньше площади треугольника на 2 «спичечных» квадрата и равна, следовательно, 4 таким квадратам.

Рис. 111

Рис. 112

Рис. 113

70. Можно доказать [26] , что среди всех фигур с одинаковым обводом наибольшую площадь имеет круг. Из спичек, конечно, не сложить круга; однако можно составить из 8 спичек фигуру (рис. 113), всего более приближающуюся к кругу - это правильный восьмиугольник. Правильный восьмиугольник и есть фигура, удовлетворяющая требованию нашей задачи: она имеет наибольшую площадь. Эта задача приводит на память легендарную историю основателя Карфагена. Дидона, дочь финикийского царя, гласит предание, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку и высадилась со многими финикийцами на северном ее берегу. Здесь Дидона купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря подобной уловке отхватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, вокруг которой впоследствии вырос город.

26

Доказательство приведено в «Занимательной геометрии» того же автора.

Прикинем, какая примерно площадь могла быть захвачена хитростью Дидоны. Если поверхность воловьей шкуры была равна 4 кв. м, т. е. 4 000 000 кв. мм, а ширина ремней 1 мм, то общая длина вырезанных ремней достигала 4 000 000 мм, или 4 км. Ремнем такой длины можно охватить квадратный участок площадью в 1 кв. км. Но Дидона получила бы еще больше земли, если бы окружила ремнем круглый участок (около 1,3 кв. км).

71. Для решения задачи развернем боковую поверхность цилиндрической банки в плоскую фигуру: получим прямоугольник (рис. 114), высота которого 20 см, а основание равно окружности банки, т. е. 10 х 3¹/ ₇ = 31 ¹/₂ см (без малого). Наметим на этом прямоугольнике положения мухи и медовой капли. Муха - в точке А, на расстоянии 17 см от основания; капля - в точке В, на той же высоте и на расстоянии полуокружности банки от А, т. е. в 15 ³/₄ см. Чтобы найти теперь точку, в которой муха должна переползти край банки, поступим следующим образом. Из точки В (рис. 115) проведем прямую под прямым углом к верхней стороне прямоугольника и продолжим ее на равное расстояние: получим точку С. Эту точку соединим прямой линией с А. Точка D, как учит геометрия, и будет та, где муха должна переползти на другую сторону банки, а путь ADB окажется самым коротким.

Рис. 114

Рис. 115

Найдя кратчайший путь на развернутом прямоугольнике, свернем его снова в цилиндр и узнаем, как должна бежать муха, чтобы скорее добраться до капли меда (рис. 116). Избирают ли мухи в подобных случаях такой путь - мне неизвестно. Возможно, что, руководствуясь обонянием, муха действительно пробегает по кратчайшему пути, но маловероятно: обоняние для этого - недостаточно четкое чувство.