Жизнь в Древнем Египте

В чисто арифметических примерах, насколько я мог видеть, ошибок нет, разве что иногда специально не учитывается маленькая дробь. Все вычисления производятся самым медленным и неудобным способом, даже умножение самых простых чисел.

Если, например, школьник желал вычислить произведение 8 на 8, эта трудная задача записывалась так:

Очевидно, его познаний в устном счете хватало лишь для умножения на 2. Странно, но правильного метода деления чисел у него тоже не было, и похоже, что школьник вряд ли ясно представлял себе, что такое деление. Он спрашивал себя не о том, сколько раз 7 содержится в 77, а о том, на какое число надо умножить 7, чтобы произведение было равно 77. Чтобы получить ответ на свой вопрос, он писал таблицу умножения 7 на различные малые числа, а потом пытался определить, какие из этих произведений дают в сумме 77.

В этом примере множители, дающие в результате 7, 14 и 56, ученик отметил чертой, а эти числа вместе составляют нужное число. Таким образом, чтобы получить 77, необходимо умножить 7 на 1 + 2 + 8, то есть на 11. Если бы вопрос был «сколько раз 8 содержится в 19», иными словами, какое число нужно умножить на 8, чтобы получить 19, результат сложения:

показывал, что нужными числами были 2, ¹/₄ и ¹/₈, поскольку парные им числа в сумме составляют как раз 19. Мы бы сказали: 8 содержится в 19 2³/₈ раза.

В связи с этим несовершенным пониманием деления легко понять, что египетский ученик не знал дробных чисел в том смысле, который это понятие имеет в нашей арифметике. Он вполне мог понять, что можно разделить вещь на несколько частей, и имел для такой части отдельное обозначение, например, ре-мет – «рот десяти», что означало «одна десятая». Но эта часть для него всегда была одна, он никогда не думал о ней во множественном числе. Египтяне могли сказать: «одна десятая и десятая и десятая» или «одна пятая и одна десятая», но привычное нам понятие ³/₁₀ в уме египтянина не существовало. Но было одно исключение: для ²/₃ у него были особые слово и знак, и это была у него единственная дробь не из разряда простейших. Когда он должен был делить меньшее число на большее, например 5 на 7, он не мог изобразить результат в виде дроби ⁵/₇, как делаем мы, а был вынужден делать это крайне утомительным обходным путем. Он анализировал эту задачу, либо деля 1 на 7 пять раз, чтобы результат был ¹/₇ + ¹/₇ + ¹/₇ + ¹/₇ + ¹/₇, или делил два раза 2 на 7 и один раз 1 на 7, причем второй способ был более распространен. Существовали специальные таблицы, в которых египтянин мог найти практические результаты деления на 2 нечетных чисел первой сотни. Так он получал ¹/₄ ¹/₂₈ ¹/₄, ¹/₂₈, ¹/₇, которые он знал, как потом привести к виду ¹/₂ + ¹/₇ + ¹/₁₄.

Если с помощью такого громоздкого механизма египтяне получали точные результаты, то лишь благодаря тому, что работа была рутинная. Тематика примеров была так узка, что для каждого из них существовала установленная формула. Каждый расчет имел особое название и короткую общепринятую формулу, которую после того, как применил ее один раз, было легко повторять. Предлагаемый здесь пример вычисления может проиллюстрировать то, что было сказано только что.

Мне трудно представить себе, чтобы даже самый опытный математик смог бы догадаться, что означают эти цифры, и, лишь сравнивая похожие вычисления, мы можем понять все эти сокращения. Предположение, сформулированное в строке а, соответствует уравнению х + ¹/₅ = 21, результат которого х = 17¹/₂ совершенно верно указан в строке д. Поскольку египтянин не очень хорошо умел выполнять вычисления с дробями, он на следующем шаге должен был вычислить эту несчастную ¹/₅ х. Это он делает так: в строке б умножает искомое число и пятую часть этого числа на 5, в сумме это дает 6. В строке в 21 делится по громоздкому египетскому способу на это 6, результат равен 3¹/₂. Эти 3¹/₂ были бы искомым числом, если бы раньше мы в строке б не превратили дробь ⁶/₅ в число 6, умножив ее на 5; поэтому результат нашего деления должен быть в пять раз больше. Это умножение выполняется в строке г и дает в результате 17¹/₂. В строке д результат проверен сложением этого 17¹/₂ с ¹/₅, определенной раньше, то есть с числом 3¹/₂, и в результате получается верная сумма – 21 из условия нашей задачи. В нашей современной записи все решение выглядело бы так:

а) ⁶/₅ х = 21

б) 6 х = 21 х 5

в) х = 2¹/₆ х 5

г) х = 3¹/₂ х 5

д) х = 17¹/₂

Проверка: 17¹/₂ + 3¹/₂= 21

О геометрии египтяне знали еще меньше, чем об арифметике, хотя им было крайне необходимо умение измерять площадь участка поверхности из-за того, что каждый год разлив уничтожал очень много границ между полями. Все их расчеты имели в основе прямоугольник, площадь которого они верно определяли как произведение длин двух его сторон. Но, как ни странно, они совершенно не замечали, что нельзя обращаться одинаково со всеми четырехсторонними фигурами, у которых противоположные стороны имеют одинаковую длину. И поскольку египтяне рассматривали каждый четырехугольник как четырехугольник, у которого две стороны совпадают одна с другой, а две остальные вдвое короче этих, они переносили эту ошибку и в вычислительные операции над треугольниками. Кроме того, для них равнобедренный треугольник был равен половине произведения длин его длинной и короткой сторон, потому что они во всех случаях определяли площадь соответствующего ему четырехугольника как произведение длин двух его сторон, словно это был просто прямой угол. Ошибка, возникавшая из-за заблуждений такого рода, в определенных обстоятельствах могла быть велика.

Вычисление площади трапеции тоже страдало от этой ошибки: чтобы определить ее площадь, они умножали длину наклонной стороны на половину произведения длин двух параллельных сторон. Как мы видим, основной принципиальной ошибкой данных египетских учеников в деле измерения площадей было то, что они так никогда и не поняли значение перпендикуляра. Вместо него они пользовались одной из наклонных сторон и этим с самого начала лишили себя возможности работать правильно. Стоит отметить, что при таких ошибках они все же нашли правильный способ приблизительного вычисления площади круга; в этом случае они вычитали из диаметра его девятую часть, а остаток умножали сам на себя. То есть, если диаметр круга был равен 9 родам (здесь род – длина измерительного жезла, английская единица измерения. – Пер.), площадь круга, по их расчетам, была 8 х 8 = 64 квадратных рода, и этот результат отличался от верного всего лишь примерно на ²/₃ квадратных рода.

Среди задач на измерение объема, которые пытались решить египтяне, было, например, определение того, сколько зерна входит в амбар определенного размера. Судя по тому немногому, что мы в настоящее время можем более или менее ясно понять в этих задачах, основные концепции египтян в этом случае были верны, но условия задач слишком сложны, чтобы мы могли составить о них какое-то определенное мнение. Но если бы мы и понимали их, они, вероятно, мало изменили бы наше общее впечатление от математики древних египтян, и наше заключение по ее поводу таково: об их теоретическом знании этой науки сказать почти нечего, но их практические познания в ней очень хорошо удовлетворяли простые потребности повседневной жизни.

Маленькая стела, которую писец по имени Аменхотеп посвятил Амону-Ра, вероятно в благодарность за излечение больного уха (W. 358, из Фив)

Глава VIII ЛИТЕРАТУРА

Сказки всегда радовали сердца и современных, и древних египтян, и, когда ученый-первооткрыватель извлекал из тьмы сказочного фольклора феллахов настоящие сокровища, он сразу догадывался, что такие рассказы имеют очень древнее происхождение [334] . Действительно, от различных периодов египетской истории до нас дошло довольно много очень похожих по характеру рассказов; и это позволяет нам понять, какое огромное наслаждение египтяне находили в рассказывании историй. Эти легкие поэтические сочинения, несомненно, во все времена пользовались любовью у египетских крестьян, хотя, возможно, не всегда занимали столь же почетное место в египетской литературе. Мы ничего не знаем о состоянии этой литературы до эпохи Среднего царства, но несколько повестей этой эпохи дошли до нас, и их содержание свидетельствует об их народном происхождении. Интересный литературный отрывок, входящий в состав Берлинского папируса, тоже имеет, если можно так сказать, простонародный характер. В нем говорится о том, как молодой пастух на мгновение увидел среди болот богиню и сильно влюбился в нее. «Он никогда не говорил с ней, [но] ее власть преследовала его тело». Тогда по его желанию были прочитаны самые мудрые колдовские заклинания пастухов, и «когда рано на рассвете… он встал перед озером, она пришла к нему без одежды, ее волосы были в беспорядке» [335] . Что она сказала ему, читатель должен придумать сам, потому что, к несчастью, древний владелец этой книги посчитал нужным смыть с папируса и начало, и конец этого текста, чтобы дешево получить чистую бумагу [336] .

334

Ср. замечания Спиты в его «Арабских сказках».

335

Berlin Pap., 24, E-F.

336

Случаи такой экономии были частыми во времена Среднего и Нового царства.

Волк пасет коз, а кот – гусей. Из сатирических рисунков Лондонского папируса (согласно реконструкции у Лепсиуса в Auswahl, pl. 23)

Египтяне эпохи Среднего царства, видимо, особенно любили повести о путешествиях, в которых герой рассказывает о своих собственных приключениях. Из полудюжины книг этого периода, которые у нас есть, по меньшей мере две содержат рассказы такого рода, а от более поздних времен у нас нет ни одной такой повести.

В первой из этих книг некий казначей, отправившийся на «рудники фараона» и переживший кораблекрушение, рассказывает о чудесах, с которыми ему довелось познакомиться на вымышленном острове змей. Другое сочинение меньше похоже на художественную повесть: в нем описана жизнь изгнанника среди бедуинов. Рассказ прост и составлен в народном стиле, в его содержании нет ничего особенного, так что известность, которой эта книга пользовалась в течение многих веков, должно быть, имела причиной обаяние ее наполовину поэтического стиля [337] . Синухет (так это имя написано в переводе на русский язык, отрывки из которого процитированы в книге Авдиева В.И. История Древнего Востока. Гос. издательство политической литературы, 1953; у Эрмана – Синухе.
– Пер.), высокопоставленный придворный царя Аменемхета I, сопровождал наследника и соправителя этого царя в военном походе против ливийцев. В это время старый царь умер. Известие о его кончине достигло военного лагеря, и Синухет, жизни которого (мы не знаем почему) из-за этой смерти угрожала опасность, сразу же бежал. Он добрался целым и невредимым до восточной границы Египта, но переход через эту границу был опасен, потому что ее защищало укрепление – «княжеская стена, построенная для защиты от бедуинов». «Потом я, скрючившись, сидел в кустах, – рассказывает Синухет, – боясь, чтобы часовые на крыше башни не увидели меня. Ночью я продолжил путь и к рассвету достиг страны Петен. Когда я подошел к озеру Кем-уэр (очевидно, одному из Горьких озер), меня охватила жажда, моя гортань горела, и я сказал себе: «Это вкус смерти». [И тут же] мое сердце ожило, и я ободрился: я услышал блеяние стада. Я увидел азиата. Он дал мне воды, и я вскипятил себе молока. Затем я пришел вместе с ним к его народу… и одно племя передавало меня другому… Я покинул Бехт (?) и пришел в Кедем, и там я прожил полтора года. Затем Аму-ен-ше, князь верхней страны Тену, взял меня к себе и сказал мне: «Останься у меня, тогда ты узнаешь что-нибудь о Египте». Он сказал это потому, что знал, кто я такой. Он слышал о моей доблести, и египтяне, которые находились у него, свидетельствовали о ней. Затем он сказал мне: «Почему ты пришел сюда? Что случилось? Должно быть, что-то произошло при дворе царя Аменемхета, который ушел на небеса, и притом такое, о чем неизвестно». Я ответил: «Это не так». После этого Синухет произносит длинные хвалебные речи в честь царей, покойного и правящего, и великой власти над всеми странами и делает варварам намек (если я верно понял), что для них будет полезно держать его у себя как посредника на будущее, поскольку царь Сенусерт, возможно, снова придет с войной в эту часть их страны. Князь-бедуин посчитал, что это хорошо, и оставил Синухета жить у себя. «Он поставил меня главой над своими детьми, – рассказывает наш герой, – и женил меня на своей старшей дочери. Он позволил мне выбрать любые из своих земель, из его самых лучших владений на границе с другой страной.

337

Две надписи на глиняных черепках свидетельствуют, что во времена Нового царства эта повесть уже считалась классической. Один из этих черепков был найден в 1886 г. в фиванской гробнице времен XX династии. На нем было написано начало этой книги, хотя текст был плохо размещен на поверхности. Другой черепок находится в Лондоне, на нем написаны несколько последних ее строк.

Это была прекрасная страна Эаа: там росли инжир и виноград, и она была богата медом, ее оливы были многочисленны, и все виды плодов росли на ее деревьях. В ней были пшеница, и ячмень, и бесчисленные стада скота. И того, что случилось со мной из-за любви ко мне (?), было еще больше, потому что он назначил меня князем одного из племен той страны. Тогда у меня стало столько хлеба, сколько я желал, и вино на каждый день, вареное мясо и жареная гусятина, не считая дичи, которую я уносил как охотничью добычу, и того, что приносили мне мои борзые собаки.

…Так я прожил много лет; мои дети стали героями, каждый из них стал защитником племени, которое приняло его к себе. Гонец, который возвращался от двора или отправлялся туда, останавливался у меня; я оказывал гостеприимство любому и поил водой жаждущего». В стране Тену не было недостатка и в возможностях для воинских подвигов. «Я покорял каждый народ, против которого я выступал в поход, я прогонял их с их пастбищ и от их колодцев. Я захватывал их скот и уводил их детей, я отбирал у них их еду, я убивал их людей своим мечом, своими стрелами, своими военными походами, своими мудрыми замыслами… Один герой из Тену явился в мой шатер и вызвал (?) меня на поединок. Он был отважным человеком (?), он не имел себе равных, он покорил всех. Он сказал: «Пусть он сразится со мной»; он думал (?), что убьет меня, он возомнил, что уведет мой скот…» После долгих речей, в которых, например, воины сравниваются с быками, которые сражаются за своих коров, дело наконец доходит до рукопашного боя. «Я метнул в него свое оружие, и оно вонзилось ему в шею. Он вскрикнул и упал на свой нос». Победа была полная, и «все бедуины закричали. Затем я забрал себе его владения и увел его скот; что он думал сделать со мной, то я сделал с ним».