Знание-сила, 2002 №09 (903)
Шрифт:
В основу своей МОДЕЛИ я положил аналогию примордиев с… мыльными пузырьками.
Движение пузырьков согласуется с механическими законами, принципом минимакса, работающим в природе повсеместно. Что это значит? Применительно к нашему случаю это может звучать так: «По пути минимального сопротивления прохождение максимального расстояния».
Вот как работает действие этого принципа для растительных паттернов согласно механической модели.
А вот так, если строить математическую модель. Каждое семейство парастих можно представить как набор идентичных архимедовых спиралей. Тогда мы будем иметь центрическую спиральную целочисленную векторную решетку (двумерную решетку называют сеткой). Это длинно звучит, но зато очень наглядно выглядит. Примордии стоят в узлах этой сетки. Они пронумерованы согласно их возрасту,
Рисунок 11
Нумерация цветочков в соцветии соответствует их возрасту.
В более жесткой формулировке: по известной теореме число классов вычетов по модулю m равно n. Следовательно, после сложения векторов тип появляется новый класс вычетов по модулю (m+n) и новое семейство парастих (m+n).
На смену филлотаксису (m,n) приходит филлотаксис (m,m+n).
Но именно так. по правилу Фибоначчи, строится любая последовательность (m,n,m+n, Uk*m+Uk+l*n, …. где
k- порядковый номер члена последовательности, Uk– k-тый член основного ряда Фибоначчи}. Таким образом, доказано, что возрастание спирального филлотаксиса соответствует росту членов ряда Фибоначчи.
Рисунок 12 Спираль-сетка
Спиральная структура возникает как «рисунок» над субстратом архимедовой спирали, в свою очередь являющейся структурой- СВ соответствий с концепцией Владимира Лефевра!)
Со школьных времен мы привыкли складывать и вычитать прямолинейные векторы по правилу параллелограмма. Оказывается, можно складывать и вычитать целочисленные векторы в согласии с правилом параллелофамма (даже если они криволинейные) на нашей центрической решетке.
Рисунок 13
Сложение и вычитание векторов по правилу параллелограмма
Рисунок 14 и
Рисунок 15
Сложение и вычитание спиралей
Если читатель внимательно рассматривал рисунки, он понял, что появление и рост контактных парастих описывается сложением векторов в момент касания двух примордиев, двигающихся в противоположных вершинах ячейки сетки.
Рисунок 16
Более того, разглядывая примордии последовательно от центра к периферии, можно проследить эволюцию их взаимного расположения. В векторном «параллелограмме»-ячейке ABCD примордии А и С удалены друг от друга, их парастиха неконтактная и на поверхностный взгляд незаметна. Примордии В и D, напротив, стоят рядом в хорошо различимой контактной парастихе.
Как только побег удаляется от центра, ситуация меняется. Примордии А и С, вырастая, соприкасаются и дают начало новой суммарной (A'C’=A’B’+A’D’) контактной парастихе. Примордии В и D расходятся, контакт между ними разрывается, и парастиха перестает быть контактной.
Вот так «складываются» отношения листьев, почек на одной только ветке.
В результате этого короткого и упрощенного рассказа читатель, думаю, понял, что модель достаточно универсальна и позволяет описать супротивное и мутовчатое листорасположение так же просто, как и спиральное. Если цилиндр достаточно узок и если примордии
появляются порциями из двух, трех или большего количества пузырьков, мы наблюдаем супротивный и мутовчатый паттерны. Таким образом, изменяя только два параметра модели: диаметр цилиндра и количество одновременно появляющихся пузырьков, – мы можем сконструировать все типы и разновидности листорасположения!Рисунок 17 (Две позиции.) нескольких «стаканов»- моделей
Верна или не верна гипотеза, работа над нею послужила импульсом к ряду математических исследований в областях, далеких от ботаники.
Впрочем, это тема для отдельного разговора.
В завершение же хочется обратить внимание читателя на одно странное на первый взгляд замечание Кеплера, рассуждающего о растительных формах. Объясняя ряд Фибоначчи, он пишет: «Пусть два младших члена будут числами 1 и 1 (ты можешь считать их неравными)…». Что значит «неравными»?!
Рисунок 18 Две генетические спирали
Мы видим, что на соцветии спиральные парастихи являются геометрическим воплощением ряда Фибоначчи в живой природе. Началу ряда, то есть единице, соответствует основная генетическая спираль (обходящая все примордии с углом дивергенции 360*( 1-0,618Е) -137,5 градусов). Но в той же последовательности эти отростки можно обойти и в противоположном направлении (с углом дивергенции 360*0,618E -222,5 градусов, золотое сечение круга). И это, по существу, тоже основная генетическая спираль. Вот вам и ответ.* Две спирали различного направления вращения, различной крутизны соответствуют двум первым неравным, по определению Кеплера, единицам ряда Фибоначчи. Каким складом ума надо обладать, чтобы различать в лицо две единицы!
Это – числа Битти
Павел Лахтунов, художник:
– Если вернуться к числовой плоскости, то увидим: пересекая последовательно гиперболу прямыми линиями (как нарисовано), получаем картину, при которой каждая точка пересечения имеет свою проекцию и каждое следующее значение проекции равно сумме двух предыдущих! Это – известный факт. Остается записать последовательность чисел, начиная с 1:
Но вот что совсем неожиданно:
точки гиперболы и числа ряда Фибоначчи строят друг друга, и их связь на «генетическом» уровне. Вот почему так часто и внезапно появляются числа Фибоначчи в математике.
Если в тех же точках пересечения построить касательные, они дают… удвоенные значения ряда Фибоначчи:
2 4 6 10 16 26 42…
Вместе же – это две ветви фибоначчиева аналога Модулора Корбюзье!
Так возникает бесконечная фибоначчиева линейка, развивающаяся вдоль числового ряда по двум ветвям, соответственно двум спиралям Модулора Корбюзье.
*К. Бахтияров:
связь свойства суммирования проекции точек пересечения секущими с порождением чисел ряда Фибоначчи нашел ученик 10 класса ФМШ МИФИ (в 1987 году) Максим Пономарев- в ходе занятий эксприментального курса рисования который тогда вел Павел Лахтунов.
…из дневника Сальвадора Дали
1952 год, июль
Порт-Льигат, 5-е
В тот самый день, когда славный поэт Лотэн, которому я оказал такое множество услуг, преподнес мне в подарок столь обожаемый мною рог носорога, я сказал Гале: