Битва при черной дыре. Мое сражение со Стивеном Хокингом за мир, безопасный для квантовой механики

Теперь выберем другую крайность и равномерно распределим по той же площади равное число чёрных и белых пикселов. Получится более или менее однородный серый цвет. Если пикселы действительно маленькие, этот серый фон будет выглядеть совершенно однородным. Имеется колоссальное число способов перераспределить чёрные и белые точки так, что мы не различим варианты без увеличительного стекла.

В этом случае видно, что высокая энтропия часто сопутствует однородному, «лысому» виду.

Связь внешней однородности и высокой энтропии указывает на нечто важное. Она подразумевает, что система, какой бы она ни была, должна состоять из большого числа микроскопических объектов, которые (а) слишком малы, чтобы их увидеть, и (б) могут комбинироваться множеством разных способов без изменения общего вида системы.

Бекенштейн вычисляет энтропию чёрной дыры

Мысль Бекенштейна о том, что чёрные дыры обладают энтропией, то есть, иными словами, несмотря на свою безволосость, содержат скрытую информацию, оказалась одним из тех простых, но глубоких суждений, которые одним махом меняют ситуацию в физике. Когда я начинал писать книги для широкой публики, мне настоятельно советовали ограничиться одной-единственной формулой: E=m•c². Мне говорили, что с каждым дополнительным уравнением продажи книги будут падать на десять тысяч экземпляров. Если честно, это противоречит моему опыту. Так что после долгих колебаний я решил пойти на риск. Доказательство Бекенштейна столь необычайно простое и красивое, что отказ от него обесценил бы эту книгу. Тем не менее я приложил усилия и разъяснил результаты так, чтобы менее склонные к математике читатели могли спокойно пропустить несколько простых формул, не теряя понимания сути.

Бекенштейн не ставил впрямую вопрос о том, сколько битов можно скрыть внутри чёрной дыры данного размера. Вместо этого он задался вопросом о том, как изменится размер чёрной дыры, если сбросить в неё один бит информации. Это похоже на вопрос о том, насколько поднимется уровень воды в ванне, если добавить в неё одну каплю воды. Точнее даже: насколько он поднимется при добавлении одного атома?

Сразу возник другой вопрос: а как добавить один бит? Может быть, для этого Бекенштейну надо бросить в чёрную дыру одну точку, напечатанную на клочке бумаги? Очевидно, нет; точка состоит из огромного числа атомов, и то же самое относится к бумаге. Поэтому в точке содержится куда больше одного бита информации. Лучший подход — это вбросить одну элементарную частицу.

Предположим, например, что в чёрную дыру падает одиночный фотон. Даже один фотон может нести более одного бита информации. В частности, масса информации содержится в координатах точки, где фотон пересекает горизонт. Здесь Бекенштейн ловко применил гейзенберговскую концепцию неопределённости. Он посчитал, что положение фотона должно быть максимально неопределённым, лишь бы только он попадал в чёрную дыру. Такой «неопределённый фотон» несёт лишь один бит информации, а именно находится ли он где-то внутри чёрной дыры.

Если помните, в главе 4 говорилось о том, что разрешающая способность светового луча не превышает длины его волны. В данном случае Бекенштейн не собирался рассматривать детали на горизонте; наоборот, горизонт должен был выглядеть максимально размытым. Хитрость была в том, чтобы использовать такой длинноволновый фотон, чтобы он распределился по всему горизонту. Иными словами, если горизонт имеет шварцшильдовский радиус то фотон должен иметь такую же длину волны. Кажется, что можно использовать и более длинные волны, но такие фотоны будут отскакивать от чёрной дыры, а не захватываться ею.

Бекенштейн подозревал, что добавление лишнего бита к чёрной дыре вызовет прирост её размера, пусть и очень небольшой, подобно тому как добавление лишней молекулы резины к воздушному шарику ненамного его увеличит. Однако для вычисления этого прироста требуется несколько промежуточных шагов. Давайте сначала бегло с ними ознакомимся.

1. Первым делом надо узнать, насколько увеличится энергия чёрной дыры при добавлении одного бита информации.

2. Далее нужно определить, насколько изменится масса чёрной дыры с добавлением лишнего бита. Для этого вспомним знаменитую формулу Эйнштейна:

E=m•c²

Однако нам понадобится обратить её, что позволит узнать изменение массы по величине добавленной энергии.

3. Когда масса определена, можно вычислить изменение шварцшильдовского радиуса, используя ту же формулу, которую вывели Митчел, Лаплас и Шварцшильд (см. главу 2):

R_s=2•M•G/c²

4. Наконец, надо определить прирост площади горизонта. Для этого нужна формула площади сферы:

Площадь горизонта = 4•R_s²

Начнём с энергии однобитного фотона. Как я уже объяснял, фотон должен иметь достаточно большую длину волны, чтобы его положение внутри чёрной дыры было неопределённым. Это значит, что длина волны должна быть R_s. Согласно Эйнштейну, фотон с длиной волны R_s имеет энергию E, определяемую следующей формулой: [72]

E=h•c/R_s

В этой формуле h — постоянная Планка, а c — скорость света. Из неё следует, что сбрасывание в чёрную дыру одного бита информации добавляет ей энергию величиной h•c/R_s.

72

Частота f фотона с длиной волны R_s равна c/R_s. Используя формулу Эйнштейна — Планка E=h•f, получаем, что энергия фотона равна h•c/R_s.

Следующий шаг — это расчёт изменения массы чёрной дыры. Для пересчёта энергии в массу её надо разделить на c², а значит, масса чёрной дыры возрастёт на величину h/R_s•c:

Изменение массы = h/R_s•c

Подставим в эту формулу числа, чтобы увидеть, сколько же добавит один бит к массе чёрной дыры, имеющей массу Солнца.

Постоянная Планка, h=6,6•10^{– 34}

Шварцшильдовский радиус чёрной дыры, R_s = 3000 м

Скорость света, c=3•10⁸

Гравитационная постоянная, G=6,7•10^{– 11}

Таким образом, один бит информации добавляет к чёрной дыре солнечной массы поразительно малую величину:

Прирост массы = 10^{– 45} килограмма.

И всё же, как говорится, «это больше, чем ничто» [73] .

Перейдём к третьему шагу: используем связь между массой и радиусом для вычисления изменения R_s. В алгебраической форме ответ будет таким:

73

Автор цитирует фразу-рефрен: «That ain’t nothing» из одноимённой песни рэппера Master Р. — Прим. перев.

Прирост R_s=2•h•G/(R_s•c³)

У чёрной дыры солнечной массы R_s составляет около 3000 м. Если подставить все числа, то окажется, что радиус увеличится на 10^{– 72} м. Это не только безмерно меньше протона, но также безмерно меньше планковской длины (10^{– 35} м). При таком малом изменении непонятно, зачем мы вообще это вычисляем, но было бы ошибкой пренебречь этой малостью.