Большая книга занимательных наук

РЕШЕНИЕ

Прямоугольников с обводом в 40 верст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь. Вот ряд примеров:

14 × 6 = 84 кв. верст

13 × 7 = 91»»

12 × 8 = 96»»

11 × 9 = 99»»

Мы видим, что у всех этих фигур при одном и том же периметре в 40 верст площадь больше, чем у нашей трапеции. Однако возможны и такие прямоугольники с периметром в 40 верст, площадь которых меньше, чем у трапеции:

Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определенного ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же обводе. Зато можно дать вполне определенный ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Сравнивая наши прямоугольники, мы замечаем, что чем меньше разница в длине сторон, тем площадь прямоугольника больше. Естественно заключить, что когда этой разницы не будет вовсе, т. е. когда прямоугольник превратится в квадрат, площадь фигуры достигнет наибольшей величины. Она будет равна тогда 10 х 10 = 100 кв. верст.

Легко видеть, что этот квадрат действительно превосходит по площади любой прямоугольник одинакового с ним периметра. Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади – на 22 кв. версты больше, чем он успел охватить.

Замечательное свойство квадрата

Замечательное свойство квадрата – заключать в своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими прямоугольниками того же периметра – многим неизвестно. Приведем поэтому строгое доказательство этого положения.

Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким периметром, то каждая сторона его должна равняться

. Докажем, что, укорачивая одну его сторону на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что площадь

квадрата больше площади

 прямоугольника:

Так как правая сторона этого неравенства равна

, то все выражение принимает вид

0 > – b 2, или b 2 > 0.

Но последнее неравенство очевидно: квадрат всякого количества, положительного или отрицательного, больше 0. Следовательно, справедливо и первоначальное неравенство, которое привело нас к этому.

Итак, квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром.

Отсюда следует, между прочим, и то, что из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр. В этом можно убедиться следующим рассуждением. Допустим, что это неверно и что существует такой прямоугольник А, который при равной с квадратом В площади имеет периметр меньший, чем у него. Тогда, начертив квадрат С того же периметра, как у прямоугольника А, мы получим квадрат, имеющий бо́льшую площадь, чем у А, и, следовательно, большую, чем у квадрата В. Что же у нас вышло? Что квадрат С имеет периметр меньший, чем квадрат В, а площадь большую, чем он. Это очевидно невозможно: раз сторона квадрата С меньше, чем сторона квадрата В, то и площадь должна быть меньше. Значит, нельзя было допустить существование прямоугольника А, который при одинаковой площади имеет периметр меньший, чем у квадрата. Другими словами, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Знакомство с этими свойствами квадрата помогло бы Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Зная, что он может пройти в день без напряжения, скажем, 36 верст, он пошел бы по границе квадрата со стороной 9 верст и к вечеру был бы обладателем участка в 81 кв. версту, – на 3 кв. версты больше, чем он получил со смертельным напряжением сил. И, наоборот, если бы он наперед ограничился какой-нибудь определенной площадью прямоугольного участка, например в 36 кв. верст, то мог бы достичь результата с наименьшей затратой сил, идя по границе квадрата, сторона которого – 6 верст.

Участки другой формы

Но, может быть, Пахому еще выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной формы, а какой-нибудь другой – четырехугольной, треугольной, пятиугольной и т. д.?

Этот вопрос может быть рассмотрен строго математически; однако из опасения утомить нашего читателя мы не станем входить здесь в это рассмотрение и познакомим его только с результатами.

Можно доказать, во-первых, что из всех четырехугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Поэтому, желая иметь четырехугольный участок, Пахом никакими ухищрениями не мог бы овладеть более чем 100 кв. верстами (считая, что максимальный дневной пробег его – 40 верст).

Во-вторых, можно доказать, что квадрат имеет большую площадь, чем всякий треугольник равного периметра. Равносторонний треугольник такого же периметра имеет площадь равную 77 кв. верстам, т. е. меньше даже, чем у той трапеции, которую Пахом обошел. Из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Значит, если даже этот наибольший треугольник имеет площадь, меньшую площади квадрата, то все прочие треугольники того же периметра по площади меньше, чем квадрат.

Но если будем сравнивать площадь квадрата с площадью пятиугольника, шестиугольника и т. д. равного периметра, то здесь первенство его прекращается: правильный пятиугольник обладает большей площадью, правильный шестиугольник – еще большей и т. д. Легко убедиться в этом на примере правильного шестиугольника.

Избери Пахом для своего участка форму правильного шестиугольника, он при том же напряжении сил овладел бы площадью на 37 кв. верст больше, чем в действительности, и на 15 кв. верст больше, чем дал бы ему квадратный участок (но для этого, конечно, пришлось бы ему пуститься в путь с угломерным инструментом).

ЗАДАЧА Из шести спичек сложить фигуру с наибольшей площадью.

РЕШЕНИЕ Из шести спичек можно составить довольно разнообразные фигуры: равносторонний треугольник, прямоугольник, множество параллелограммов, целый ряд неправильных пятиугольников, ряд неправильных шестиугольников и, наконец, правильный шестиугольник. Геометр, не сравнивая между собой площади этих фигур, заранее знает, какая фигура имеет наибольшую площадь: правильный шестиугольник.

Фигуры с наибольшей площадью