Брайан Грин. Ткань космоса: Пространство, время и структура реальности

Более того – и это является критически важным – получить точный ответ нельзя будет, даже если бы мы были способны. Когда вы исследуете окончательную стопку страниц, вы гораздо меньше интересуетесь точными деталями, какая страница где оказалась, чем главным вопросом, расположились ли страницы в правильном порядке. Если расположились, прекрасно. Вы сможете сесть и продолжить чтение про Анну Павловну и Николая Ильича Ростовых, как обычно. Но если вы обнаружили, что страницы не находятся в их правильном порядке, точные детали расположения страниц будут чем-то, что вас, вероятно, меньше всего будет заботить. Если вы увидели одно неупорядоченное расположение страниц, вы в большой степени видели их все. За исключением случаев, когда по некоторым странным причинам вы погрязли в мелочах, выясняя, каким страницам пришлось появиться здесь или там в стопке, вы едва ли заметите, если некоторое перемешанное впоследствии в неправильном порядке расположение страниц вы изначально задали. Начальная стопка будет выглядеть неупорядоченной и перемешанная впоследствии стопка будет также выглядеть неупорядоченной. Так что не только значительно легче провести статистическое обсуждение, но и ответ, который оно дает – упорядоченное против неупорядоченного, – более важен для нашего настоящего интереса, для вида вещей, на которые мы обычно обращаем внимание.

Этот сорт укрупненного подхода является центральным для статистической основы энтропийных рассуждений. Точно так же, как любой лотерейный билет имеет те же шансы на выигрыш, как и любой другой, после многих подбрасываний Войны и мира любое особое расположение страниц возникнет с точно той же вероятностью, что и любое другое. Что делает проведение статистических рассуждений эквивалентным нашему утверждению, что имеется два представляющих интерес класса конфигураций страниц: упорядоченные и неупорядоченные. Первый класс имеет одного члена (правильное расположение страниц 1,2; 3,4; и так далее), тогда как второй класс имеет гигантское число членов (любое другое возможное расположение страниц). Эти два класса представляют разумный набор для использования, поскольку, как сказано выше, они охватывают всеобъемлющую макроскопическую оценку, которую вы делаете, рассматривая любое данное расположение страниц.

Даже при этих условиях вы можете предложить сделать более тонкое различие между этими двумя классами, такое как расположения с несколькими выпадающими из правильного порядка страницами, расположения с неупорядоченными страницами только из первой главы и так далее. Фактически, иногда может быть полезным рассмотреть такие промежуточные классы. Однако, число возможных расположений страниц в каждом из этих новых подклассов все еще экстремально мало по сравнению с числом расположений в полном неупорядоченном классе. Например, полное число неупорядоченных расположений, включающих только страницы из первой части Войны и мира, составляет 10^–178 от сотой доли полного числа неупорядоченных расположений, включающих все страницы. Так что, хотя при начальном подбрасывании не сшитой книги итоговое расположение страниц будет, вероятнее всего, частью одного из промежуточных, не полностью разупорядоченных классов, почти ясно, что если вы повторите процедуру подбрасывания много раз, порядок страниц в конечном счете будет проявлять не очевидный пример всего, чего угодно. Расположение страниц развивается в направлении к полностью неупорядоченному классу, поскольку имеется так много расположений страниц, которые удовлетворяют данному требованию.

Пример Войны и мира подчеркивает две существенные особенности энтропии. Первая, энтропия есть мера количества беспорядка в физической системе. Высокая энтропия означает, что много перестановок составляющих частей, мыслимых для системы, пройдут незамеченными, и это, с другой стороны, означает, что система сильно неупорядочена (когда страницы Войны и мира все перемешаны, любое дальнейшее их перепутывание будет едва ли заметно, поскольку просто оставляет страницы в перемешанном состоянии). Низкая энтропия означает, что только несколько перестановок пройдут незамеченными, и это, с другой стороны, означает, что система сильно упорядочена (когда страницы Войны и мира начинаются с их правильного расположения, вы легко можете отследить едва ли не любую перестановку). Вторая, в физических системах с многими составляющими частями (например, в книгах со многими страницами, подбрасываемых в воздух) имеется естественная эволюция по направлению к большему беспорядку, поскольку беспорядок может возникнуть в настолько большем количестве путей, чем порядок. На языке энтропии это указание на то, что физические системы имеют тенденцию развиваться по направлению к состояниям с более высокой энтропией.

Конечно, делая энтропию точной и универсальной, физическое определение не рассматривает подсчет числа перестановок страниц той или иной книги, которые оставляют ее выглядящей по-прежнему, или упорядоченной или неупорядоченной. Вместо этого физическое определение подсчитывает число перестановок фундаментальных составляющих – атомов, субатомных частиц и так далее – которое оставляет макроскопические, всеобъемлющие, крупномасштабные свойства данной физической системы неизменными. Как и в примере Войны и мира, низкая энтропия означает, что только несколько перестановок пройдут незамеченными, так что система высоко упорядочена, тогда как высокая энтропия означает, что много перестановок не будут замечены, что означает, что система сильно неупорядочена.*

Для хорошего физического примера, причем такого, который можно быстро проверить руками, подумаем о бутылке колы, упоминавшейся ранее. Когда газ, подобный углекислому газу, изначально заключенному в бутылке, в конечном счете распространяется по комнате, имеется много перестановок отдельных молекул, которые не будут иметь заметного эффекта. Например, если вы машете своими руками, молекулы углекислого газа будут двигаться туда и обратно, быстро изменяя свои положения и скорости. Но в целом не будет никакого качественного влияния на их расположение в целом. Молекулы были распределены однородно до того, как вы взмахнули руками, и они останутся распределенными однородно после того, как вы это сделали. Конфигурация однородно распределенного газа нечувствительна к гигантскому числу перестановок молекулярных составляющих, так что находится в состоянии с высокой энтропией. Напротив, если газ распределен в меньшем пространстве, как это было в бутылке, или удерживается барьером в углу комнаты, он будет иметь существенно более низкую энтропию. Причина проста. Точно так же, как более тонкая книга имеет меньше расположений страниц, меньшее пространство обеспечивает меньше мест, где молекулы могут размещаться, а следовательно, допускает меньше перестановок молекул.

Но когда вы откручиваете крышку бутылки или удаляете барьер, вы открываете целую новую вселенную для молекул газа, и через столкновения и соударения они быстро рассеиваются, чтобы эту вселенную "исследовать". Почему? По тем же самым статистическим причинам, как и в случае страниц Войны и мира. Нет сомнений, что некоторые из соударений будут приводить несколько молекул газа точно внутрь исходного пузыря газа или подтолкнут несколько молекул, которые вернулись назад в пузырь, в сторону облака газа исходной плотности.

(*)"Энтропия есть еще один пример, в котором терминология усложняет идеи. Не расстраивайтесь, если вы опять себе напомнили, что низкая энтропия означает высокий порядок, а высокая энтропия означает низкий порядок (эквивалентно, высокий беспорядок). Я много раз так делал." 

 Но, поскольку объем комнаты превышает объем исходного облака газа, имеется граздо больше перестановок, приемлемых для молекул, если они рассеиваются из облака, чем для молекул, если они остаются в облаке. Тогда в среднем молекулы газа будут расплываться из исходного облака и медленно достигнут состояния, когда они однородно распределены по комнате. Так что относительно низкоэнтропйная исходная конфигурация, в которой весь газ собран в кучу в малой области, естественным образом эволюционирует в направлении относительно высокоэнтропийной конфигурации, в которой газ однородно распространен в большем пространстве. И однажды достигнув такой однородности, газ будет иметь тенденцию поддерживать это состояние высокой энтропии: столкновения и соударения все еще заставляют молекулы двигаться туда и сюда, вызывая замену одной перестановки на другую, но подавляющим образом превалируют такие перестановки, которые не влияют на макроскопические, всеобъемлющие свойства газа. Это и означает иметь высокую энтропию. [9]

9. Вы можете обеспокоиться, что имеется фундаментальное отличие между определением понятия энтропия для расположений страниц и определения его для коллективов молекул. Так расположения страниц дискретны – вы можете пересчитать их одно за одним, так что, хотя полное число возможностей может быть большим, оно конечно. В противоположность этому, движение и положение даже отдельной молекулы непрерывно – вы не можете пересчитать их одно за одним, так что тут (по крайней мере, в соответствии с классической физикой) имеется бесконечное число возможностей. Так как можно точно провести оценку молекулярных перестановок? Ну, короткий ответ состоит в том, что это хороший вопрос, но один из тех, на которые найдены полные ответы, – так что, если этого достаточно, чтобы успокоить вашу тревогу, свободно пропускайте следующий текст. Более длинный ответ требует немного математики, так что без знания основ это может быть тяжело проследить полностью. Физики описывают классическую многочастичную систему, привлекая фазовое пространство, 6N-мерное пространство (где N есть число частиц), в котором каждая точка обозначает все положения и скорости частиц (каждое такое положение требует три числа, что относится и к каждой скорости, в итоге получаем 6N-мерность фазового пространства). Существенный момент тот, что фазовое пространство может быть разбито на такие области, что все точки данной области соответствуют перестановкам скоростей и координат молекул, которые имеют одинаковые в общем и целом макроскопические свойства и вид. Если конфигурация молекул изменилась от одной точки в данной области фазового пространства к другой точке той же области, макроскопические оценки найдут эти две конфигурации неразличимыми. Теперь, вместо того, чтобы пересчитывать число точек в данном регионе – самая прямая аналогия подсчета числа различных перестановок страниц, но которая, несомненно, приведет к бесконечному ответу, – физики определяют энтропию в терминах объема каждой области в фазовом пространстве. Больший объем означает больше точек, а потому больше энтропия. А объем области, даже области в многомерном пространстве, есть нечто, чему можно дать строгое математическое определение. (Математически необходимо выбрать нечто, именуемое мерой, и, для склонного к математике читателя, я замечу, что мы обычно выбираем меру, которая однородна по всем микросостояниям, совместимым с данным макросостоянием, – что означает, каждая микроскопическая конфигурация, связанная с данным выбором макроскопических свойств, предполагается равновероятной).

В принципе, как и со страницами Войны и мира, мы можем использовать законы классической физики, чтобы точно определить, где в данный момент времени будет находиться каждая молекула углекислого газа. Но вследствие чудовищного числа молекул СО₂ – около 10²⁴ в бутылке колы – в действительности провести такие вычисления практически невозможно. И даже если каим-то образом мы были бы в состоянии сделать это, обладание списком из миллионов миллиардов миллиардов положений и скоростей частиц будет почти ничего не давать нам в смысле того, как молекулы распределены. Концентрация внимания на крупномасштабных статистических свойствах – рассеялся газ или собрался вместе, что означает, имеет он высокую или низкую энтропию – намного более информативна.

Энтропия, второй закон и стрела времени

Тенденция физической системы эволюционировать в направлении состояния с более высокой энтропией известна как второй закон термодинамики. (Первый закон есть привычный закон сохранения энергии). Как отмечено выше, основанием для закона является простое статистическое рассуждение: имеется больше способов для системы иметь более высокую энтропию, и "больше способов" означает, что более вероятным является то, что система будет эволюционировать в одну из этих высокоэнтропийных конфигураций. Хотя отметим, что это не есть закон в обычном смысле, поскольку, хотя такие случаи редки и маловероятны, нечто может уйти из состояния с высокой энтропией в состояние с низкой. Когда вы подбрасываете в воздух перепутанную пачку страниц, а затем собираете ее в аккуратную стопку, может произойти возврат в правильный числовой порядок. Вы не захотите заключить пари на большую сумму, что это произойдет, но это возможно. Возможно также, что столкновения и соударения просто приведут к тому,что весь рассеянный углекислый газ будет двигаться согласованно и втянется назад в вашу открытую бутылку колы. Не надо, затаив дыхание, ожидать и такого исхода тоже, но он может произойти. [10]

10. Особенно, мы знаем один путь, на котором это должно произойти: если несколькими днями ранее молекулы СО₂ первоначально были в бутылке, тогда мы знаем из нашего обсуждения выше, что если прямо сейчас вы одновременно замените на противоположные скорости всех и каждой молекулы СО₂, также каждой молекулы или атома, которые любым образом взаимодействовали с молекулами СО₂, и подождете те же несколько дней, молекулы соберутся все назад вместе в бутылку. Но это обращение скорости не та вещь, которую можно исполнить на практике, не считая того, что это, возможно, произойдет по их собственному согласию. Я должен заметить, что было доказано математически, что если вы ждете достаточно долго, молекулы СО₂ по своей собственной воле все найдут свой путь назад в бутылку. Результат, доказанный в 1800е французским математиком Жозе Лиувиллем, можно использовать для установления того, что известно как реккурентная теорема Пуанкаре. Эта теорема показывает, что если вы достаточно долго ждете, система с конечной энергией и ограниченная конечным пространственным объемом (вроде молекул СО₂ в закрытом помещении) будет возвращаться в состояние, произвольно близкое к ее начальному состоянию (в нашем случае все молекулы СО₂ расположились в бутылке колы). Загвоздка в том, как долго вам придется ждать, чтобы это случилось. Для систем с любым, даже малым числом составляющих теорема показывает, что вы, как правило, будете ждать намного дольше возраста вселенной, пока составляющие по своему собственному согласию перегруппируются в их начальную конфигурацию. Тем не менее, с принципиальной точки зрения, соблазнительно отметить, что любая пространственно ограниченная физическая система при бесконечном терпении и долговечности будет возвращаться к своей начальной конфигурации.

Большое число страниц Войны и мира и большое число молекул газа в комнате является тем, что делает разницу энтропий между неупорядоченными и упорядоченными расположениями настолько огромной и что приводит к ужасно малой вероятности низкоэнтропийных исходов того или иного процесса. Если вы еще и еще раз подбрасываете в воздух только две двусторонние страницы, вы найдете, что они опустятся в правильном порядке примерно в 12,5 процентов случаев. С тремя страницами эта величина упадет примерно до 2 процентов, с четырьмя страницами примерно до 0,3 процента, с пятью страницами примерно до 0,03 процента, с шестью страницами примерно до 0,002 процента, с десятью страницами до 0,000000027 процента, а с 693 страницами процент подбрасываний, которые будут приводить к правильному порядку, настолько мал, – он содержит так много нулей после десятичной точки, – что я убедил издателя не использовать полстраницы, чтобы записать его явно. Аналогично, если вы выпустили только две молекулы газа бок о бок в пустую бутылку из-под колы, вы найдете, что при комнатной температуре их хаотическое движение будет приводить их обеих назад друг к другу (на расстояние миллиметра друг от друга), в среднем, грубо каждые несколько секунд. Для группы из трех молекул вы будете ждать день, для четырех молекул вы будете ждать год, а для исходного плотного пузыря из миллиона миллиардов миллиардов молекул потребуется время, намного превышающее текущий возраст вселенной, чтобы их хаотическое, рассеивающее движение привело их назад вместе в маленький упорядоченный сгусток. С большей уверенностью, чем в смерти и налогах, мы можем считать, что системы с большим числом составляющих эволюционируют к беспорядку.