Числа - основа гармонии. Музыка и математика

 _{Christe eleison.}

 _{Kyrie eleison (№ 2).}

 _—Gloria

 _{Gloria in excelsis Deo.}

 _{Et in terra pax.}

 _{Laudamus te.}

 _{Gratias agimus tibi.}

 _{Domine Deus. <—}

 _{Qui tollis peccata mundi.}

 _{Qui sedes ad dexteram Patris.}

 _{Quoniam tu solus sanctus.}

 _{Cum Sancto Spiritu.}

 _—Credo

 _{Credo in unum Deum.}

 _{Patrem omnipotentem.}

 _{Et in unum Dominum.}

 _{Et incarnatus est.}

 _{Crucifixus. <—}

 _{Et resurrexit.}

 _{Et in Spiritum Sanctum.}

 _Confiteor.

 _{Et expecto.}

 _{—Sanctus, Hosanna, Benedictus, Agnus Dei}

_Sanctus.

 _Hosanna.

 _Benedictus.

 _{Hosanna (da capo).}

 _{Agnus Dei.}

 _{Dona nobis pacem.}

В частности, три центральных элемента группы Credo рассказывают о жизни Христа, начиная от воплощения (Et incarnatus est) до воскрешения (Et resurrexit), центральная часть повествует о распятии (Crucifixus).

* * *

МУЗЫКАЛЬНЫЕ КРИПТОГРАММЫ

Криптограмма — сообщение, которое нельзя прочитать, не зная ключа шифра. Это сообщение может быть спрятано внутри рисунка, в тексте или посреди беспорядочно расположенных цифр и букв. Музыкальная криптограмма — это произведение, в котором зашифрован текст. Чтобы прочитать его, необходимо всего лишь записать обозначения всех его нот. Многие композиторы создавали произведения, следуя такой системе. Наиболее известной музыкальной криптограммой, вне всякого сомнения, является В-А-С-Н, в которой используется классическая немецкая нотация. В этой нотации си-бемоль обозначается буквой В, ля — буквой А, до — буквой С, си — буквой Н.

Другими известными криптограммами являются:

— ABEGG в честь Meta Abegg в «Вариациях на тему Abegg» Роберта Шумана;

— CAGE в честь Джона Кейджа. Этот мотив использовала Полина Оливейрос;

— GADE в честь Нильса Гаде. Этот мотив использовал Роберт Шуман.

Антон Веберн в своем Струнном квартете, соч. 28 использовал четыре ноты В-А-С-Н и два геометрических преобразования, с помощью которых превратил эти четыре ноты в восемь.

Австрийский композитор Альбан Берг (1885–1935) в своей опере «Воццек» отдает дань уважения трем ведущим представителям венской школы, зашифровав текст в партитуре для каждого инструмента:

— пианино: Арнольд Шёнберг (ADSCHBEG);

— скрипка: Антон Веберн (АЕВЕ);

— труба: Альбан Берг (ABABEG).

* * *

Золотое сечение и музыка

Итальянский математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи (ок. 1170 — ок. 1250), был одним из тех, кто ввел в употребление арабские цифры в Европе. В своей «Книге абака» он изложил задачу:

«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем каждый месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?»

Ответ на эту интересную задачу таков:

— В первые два месяца имеется всего одна пара кроликов, А.

— В третьем месяце родится В, первая пара — потомок А.

— В четвертом месяцев родится С, вторая пара — потомок А.

— В пятом месяце родится D, третья пара — потомок А, и Е, первая пара — потомок В.

Численность кроликов в последующие месяцы будет описываться последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Эта последовательность чисел известна как числа Фибоначчи. Если мы поделим каждый член этой последовательности на предыдущий, получим:

На схеме показан рост численности кроликов. Белыми точками обозначены пары молодых кроликов, черными — взрослых кроликов, способных давать потомство.

Отношения членов ряда Фибоначчи стремятся к числу 1,618033989…, известному как золотое сечение, или божественная пропорция. Числа Фибоначчи часто встречаются в природе: например, ими описывается число семечек в спиралях подсолнуха, расположение ветвей растений, спирали раковин моллюсков и так далее.

Отрезки пятиконечной звезды — пентаграммы, которая используется во многих культурах, также скрывают в себе золотое сечение. Справа — схема расположения семян подсолнечника. Число спиралей в обе стороны выражается числами Фибоначчи.

Золотое сечение используется и в музыке. Некоторые произведения Моцарта и Бетховена разделены своей высшей точкой, моментом максимального напряжения на части, длительность которых подчиняется золотому сечению. Наиболее вероятно, что и Моцарт, и Бетховен получили этот результат интуитивно, стремясь придать своей музыке равновесие. В творчестве композитора Белы Бартока числа Фибоначчи встречаются столь часто, что это нельзя объяснить случайным совпадением. Так, в первой фуге его произведения «Музыка для струнных, ударных и челесты» 89 тактов, исполняемых ударными и челестой, делятся на части длиной в 55 и 34 такта. Разделение этих частей на более мелкие также описывается числами Фибоначчи: первая часть делится на 34 и 21 такт, вторая — на 13 и 21. Третья часть этого же произведения, исполняемая в темпе адажио, начинается с ритмической последовательности, в которой на ксилофоне исполняется одна и та же нота фа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3, 2, 1 и 1 раз. Струнный квартет № 4 его же авторства состоит из 2584 долей — это 18-е число Фибоначчи.

Числа Фибоначчи также описывают модели интервалов, использованные Бартоком, среди которых встречаются интервалы из 2, 3, 5, 8 и 13 полутонов.

Некоторые композиции Дебюсси также подчиняются правилу золотого сечения или описываются числами Фибоначчи. Начало «Диалога ветра с морем» в его произведении «Море» состоит из 55 тактов, которые делятся на группы по 21, 8, 8, 5 и 13 тактов. «Золотой» такт номер 34 отмечен нотой, исполняемой на трубе.

Хотя подобный анализ может действительно иметь отношение к реальности, к нему стоить подходить умеренно. Нередко слушатель, который заранее знает, что в произведении используется золотое сечение, начинает «слышать», что произведение звучит по-особому.

* * *

МЕРА КРАСОТЫ

Творчество состоит в поиске формы: художник объединяет большое и малое, сочетает напряженные и смягченные моменты, прямые и кривые, высокие и низкие звуки. В результате достигается некое стабильное или нестабильное равновесие. Эстетическое удовольствие, которое получает зритель от результата творчества, является в высшей степени субъективным. Существует ли хотя бы приблизительный объективный критерий красоты? Золотое сечение, возможно, самый известный пример объективной меры красоты, однако предпринимались и другие попытки найти подобные критерии. В их существовании был убежден американский математик Джордж Биркхоф (1884–1944). Изучив различные виды искусства, в начале 1930-х годов он опубликовал работы A Mathematical Theory of Aesthetics («Математическая теория эстетики») и Aesthetic Measure («Эстетическая мера»). В них рассматривались скульптура, музыка и поэзия. Он определил величину, названную им эстетической мерой, которая зависела от двух параметров: эстетического порядка (O) и сложности (С):

M = O/C

Эстетический порядок определяется регулярностью расположения элементов, составляющих произведение искусства, сложность является численной оценкой присутствия этих элементов. Биркхоф первым признал, что для получения репрезентативных результатов следовало изучать не произведение в целом, а лишь некоторые его характеристики, например отдельные аккорды ритма и гармонический контекст в музыке. Биркхоф посвятил музыке три главы своей книги, в которых проанализировал аккорды, гармонию, мелодию и контрапункт. Вне зависимости оттого, насколько эффективна предложенная им система, интересно заметить, что, согласно уравнению Биркхофа, чем меньше сложность, тем больше красота. Иными словами, между красотой и простотой существует прямая зависимость.