Числа - основа гармонии. Музыка и математика

T_k(s₁, s₂, …, s₁₂) —> (s₁ + k, s₂ + k, …, s₁₂ + k),

T₀(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6),

T₁(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (1, 2, 4, 10, 3, 0, 3, 11, 8, 9, 6, 7),

T₂(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (2, 3, 5, 11, 4, 1, 6, 0, 9, 10, 7, 8),

…

T₇(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (7, 8, 10, 4, 9, 6, 11, 3, 2, 3, 0,1),

…

T₁₂(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (11, 0, 2, 8, 1, 10, 3, 9, 6, 7, 4, 5).

После 11 счет снова начинается с 0, точно так же как мы считаем часы: 8 часов утра плюс 7 часов равно 3 часам дня. В математике подобные операции на ограниченных множествах чисел называются модулярной арифметикой. В случае с додекафоническими сериями множество чисел имеет всего 12 элементов в интервале от 0 до 11. Число элементов множества называется модулем (в нашем случае модуль равен 12). В арифметике по модулю 12 число 13 эквивалентно числу 1. Записывается это так:

13 

1 (mod 12).

Все числа вида 12k + 1, где k — целое, эквивалентны 1:

25 

1 (mod 12),

37 

1 (mod 12),

49 

1 (mod 12),

61 

1 (mod 12),

Как мы уже говорили, в додекафонии не проводятся различия между одинаковыми нотами, которые относятся к разным октавам. Арифметика по модулю 12 отражает этот факт: число 1, которым в нашем примере обозначена нота фа, равно 13, которым снова обозначается фа.

Средства модульной арифметики помогают заметить, что инверсия серии эквивалентна замене всех значений от 0 до 11 (то есть значений всех различных нот) разницей между этим значением и 12. При таком преобразовании значение 1 заменится на 11, 2 — на 10, 3 — на 9 и так далее. Для серии, которую мы рассматривали

в качестве примера, получим:

I(s₁, s₂, ...,s₁₂) —> (s₁, 12 — s₂,…, 12 — s₁₂)

I(0,1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (0, 11, 9, 3, 10, 1, 8, 2, 5, 4, 7, 6).

Ракоход, в свою очередь, получается «обращением» числового ряда слева направо:

R(s₁, s₂, ..., s₁₂) —> (s₁₂, s₁₁, ..., s₁)

R(0, 1, 3, 9, 2, 11, 4, 10, 7, 8, 5, 6) —> (6, 5, 8, 7, 10, 4, 11, 2, 9, 3, 1, 0).

Исходная серия вкупе с ее инверсией, ракоходом и с 12 возможными транспозициями для каждого из этих преобразований формирует 4·12 = 48 перестановок, которые может использовать композитор. Если учитывать повороты, то число вариантов возрастет до 48·12 = 576.

Эти 48 форм можно записать в виде матрицы размером 12 x 12, опираясь на следующие правила:

— в первой строке T₀  записывается исходная серия (в нашем примере выделена жирным шрифтом);

— в первом столбце I₀ записывается инверсия серии (также выделена жирным);

— в каждой из оставшихся ячеек записывается сумма (по модулю 12) чисел, с которых начинаются соответствующая строка и столбец. Например, пятая строка начинается с числа 10, четвертый столбец с числа 9, следовательно, на пересечении этой строки и этого столбца необходимо записать число 7, так как 10 + 9 = 19 

7 (mod 12).

12 строк матрицы будут содержать исходную серию со всеми возможными транспозициями, 12 столбцов — инверсию исходной серии со всеми возможными транспозициями. Ракоходы этих 24 серий можно получить, если изменить направление обхода матрицы: строки нужно читать справа налево, столбцы — снизу вверх.

Круговая форма

Представление серии в форме круга особенно полезно при изучении додекафонии. Например, в круговой форме серия из ор. 25 Шёнберга выглядит так:

Чтобы получить ракоход серии, нужно всего лишь изменить направление обхода на противоположное:

Чтобы получить инверсию серии, достаточно отобразить ее симметрично самой себе относительно оси, проходящей через основной тон:

Для транспозиции нужно повернуть круг на необходимое число «часов»:

Инверсию транспозиции можно получить отражением относительно нужной оси:

Круговая форма позволяет лучше увидеть внутреннюю структуру некоторых серий. Например, в основе серии Струнного квартета ор. 28 Антона Веберна, о которой мы уже рассказывали, лежит тема ВАСН:

Если представить эту серию в круговой форме, то ее симметрия становится более наглядной. На рисунке ниже ось симметрии серии обозначена пунктирной линией. Благодаря такому расположению серия S совпадает со своей ракоходной инверсией при транспозиции на три полутона вниз. Иными словами, эта серия получается из исходной путем применения уже известных вам функций ракохода (R), инверсии (I) и транспозиции (Т), последняя из которых применяется трижды:

Тема ВАСН, которая сама по себе является симметричной, звучит в серии трижды: первый раз в исходном виде, второй — в инвертированном и транспонированном, третий — в транспонированном:

В круговом представлении повороты связывают последние ноты с первыми, замыкая круг. Таким образом, обход серии может начинаться с любой точки круга.

Альбан Берг