Числа - основа гармонии. Музыка и математика

Третьим выдающимся представителем Новой венской школы был Альбан Берг (1885–1935). Он владел богатым музыкальным языком, и использование приемов додекафонии не помешало ему придать своим композициям в высшей степени экспрессивный характер. Среди наиболее известных его произведений — оперы «Воццек» и «Лулу», Лирическая сюита для струнного квартета и Концерт для скрипки с оркестром «Памяти ангела». Серия из последней композиции (представлена на рисунке)

обладает удивительной симметрией, которую можно заметить, если представить серию в форме круга:

Для этой серии характерно созвучие тонов, которое становится очевидным, если записать серию в числовой форме (0, 3, 7, 11, 2, 5, 9, 1, 4, 6, 8, 10). Обратите внимание, что серия содержит последовательность из четырех больших и малых аккордов, тем самым восстанавливается квинтовый круг: 0–7, 7–2, 2–9 и 9–4. Круг завершается четырьмя последовательными тонами.

На следующей иллюстрации показаны эти цепочки квинт (исключены некоторые промежуточные элементы):

Сериализм, контроль и хаос

Додекафония открыла путь к созданию музыкальных композиций под сильным влиянием математических моделей. Те же принципы, которым соответствуют высоты звуков в сериях, вскоре стали применяться и к другим параметрам звуков. Изначально композиторы стремились сделать распределение звуков разной высоты статистически равномерным. Почему это же нельзя применить и к другим параметрам — интенсивности, длительности нот, тембру или регистру? По сути, этот метод ничем не будет отличаться от метода, использованного для распределения высот звуков. Например, можно составить таблицу, в которой будут перечислены 12 степеней динамики, начиная от пиано пианиссимо и заканчивая форте фортиссимо. Можно составить серию из уровней относительной громкости и работать с ней так же, как и с другими сериями:

Аналогично можно указать длительности нот или любой другой параметр, а затем применить к нему музыкально-математические преобразования. Представителями этого направления являются французский композитор Пьер Булез (р. 1925) и немецкий композитор Карлхайнц Штокхаузен (1928–2007), которые систематически использовали серии применительно к различным свойствам звуков. Это направление называется интегральный сериализм.

Булез разработал метод так называемого умножения блоков. Каждый из гармонических блоков А и В является аккордом — множеством звуков определенной высоты. При транспозициях блока А в качестве самой низкой ноты последовательно выбирается каждая нота блока В. Произведение А x В — это гармоническое соединение всех таких транспозиций.

Булез использовал этот прием в произведении Le marteau sans ma'itre («Молоток без мастера»), разделив серию на пять блоков a, b, c, d и е, которые затем перемножались по описанному выше методу:

Это интересный пример того, как математическая операция (в данном случае умножение) переносится в область, где, как может показаться, она не будет иметь смысла. Однако подобные методы оказались не слишком плодотворны. Сериализм сводит процесс создания композиции к простой абстрактной игре, и полученные композиции практически невозможно «расшифровать». Сам Булез упоминал об этой проблеме в своей книге «Структуры»:

«Я хотел полностью исключить из моего словаря все следы условностей применительно к ритму и фразам, равно как и к форме. Следовательно, я хотел элемент за элементом восстановить различные этапы создания музыки так, чтобы возник новый идеальный синтез, который не был бы изначально испорчен чужеродными реминисценциями, свойственными определенным стилям».

Стохастическая музыка

Французский композитор греческого происхождения Янис Ксенакис (1922–2001) критиковал сериализм, так как считал, что независимое формирование серий из разных параметров (высоты, длительности, динамики и других) ведет к тому, что они оказываются изолированными и не связанными между собой. Параллельная организация различных серий подобна концептуальной полифонии, когда идеальный слушатель может оценить каждую серию по отдельности точно так же, как он слышит отдельные голоса классической полифонической мелодии. Однако результат больше напоминал совокупность разрозненных элементов, собранных в общую массу звуков.

Ксенакис, который также был архитектором, стремился создать структурированную музыку, в которой была бы воссоздана согласованность между эстетическим и природным. Его музыка предстает перед слушателем в виде «звуковых облаков», которые со временем видоизменяются. Эти облака образованы из множества конкретных звуков, почти не связанных между собой, но подчиняются общим для композиции статистическим законам. После того как сформированы общие структурные очертания произведения, отдельные части распределяются на основе множества сложных математических методов и моделей, принадлежащих к теории вероятности, алгебре, теории групп и теории игр.

Партитура пьесы «Метастаз» Яниса Ксенакиса.

Игра в кости с Моцартом

Вольфганг Амадей Моцарт (1756–1791) и Йозеф Гайдн (1732–1809) — самые известные композиторы классического периода. Музыка того времени, доступная широкому кругу слушателей, подчинялась строгим законам, которыми в совершенстве владели и Моцарт, и Гайдн.

Расцвет классической музыки совпал по времени с промышленной революцией: появились машины, способные заменить ручной труд, начался процесс автоматизации производства. Это привело к изменениям в общественном и экономическом устройстве, идея крупномасштабного производства укоренилась в массовом сознании.

Иоганн Филипп Кирнбергер (1721–1783) был композитором и теоретиком музыки, учеником Баха и создателем различных видов темперации, носящих его имя. В 1757 году он опубликовал первую из серии игр, в которых систематизировались музыкальные композиции и которые позволяли любому создавать свои собственные произведения, для чего не требовались специальные знания. Моцарт и Гайдн придумали игру Musikalisches W"urfelspiel — музыкальную «игру в кости». Далее мы расскажем об игре, создание которой приписывается Моцарту. Она содержит 176 пронумерованных готовых тактов, расположенных в двух таблицах. Каждая таблица имеет 16 столбцов. Нужно случайным образом выбрать число в каждом из столбцов обеих таблиц, бросив обычные игральные кости.

Игрок-композитор бросает кости, и выпадает число от 2 до 12. Это число указывает на номер ячейки таблицы в столбце 1. Например, выпали числа 3 и 5, в сумме они дают 8. Это означает, что нужно выбрать число в строке 8 первого столбца. Это число 152. Такт номер 152 станет первым в нашем «произведении». Повторив эти же действия для каждого из оставшихся столбцов, мы получим 32 такта. (При выборе чисел во второй таблице нужно бросать только один кубик.)