Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

Понятия математики не являются единственными обитателями «мира идей» Платона. Всякое общее понятие претендует на место в этом мире. Рассуждение, обосновывающее эту претензию, таково. В нашем языке существуют слова и словосочетания для обозначения единичных понятий, например имена собственные: остров Самос, Афины, Гиппократ. Откуда у нас возникают эти понятия? Из чувственного восприятия соответствующих вещей. Но есть у нас и общие понятия: человек, дерево и т. п. Откуда же у нас берутся эти понятия? Ведь путем чувственного восприятия мы постигаем только конкретные понятия: данный человек, данное дерево и т. д. Если вещи порождают у нас конкретные понятия, то что же порождает общие понятия? Ответ Платона гласит: идеи; идея человека, идея дерева и т. д.

Существование мира идей обеспечивает математике прочное и высокое положение — она становится наукой об идеях. Чувственный опыт дает нам несовершенное, приблизительное знание о несовершенных, приблизительных воплощениях идей. Доказательства математики дают совершенное знание о самих идеях. «При помощи математики, — пишет Платон, — очищается и получает новую жизненную силу орган души, в то время как другие занятия уничтожают его и лишают способности видеть, тогда как он значительно более ценен, чем тысяча глаз, ибо только им одним может быть обнаружена истина».

Под влиянием идеализма Платона математики древней Греции стремились изгнать из своей науки все, что можно истолковать как обращение к данным чувственного опыта. С одной стороны, это имело положительные последствия, так как способствовало разработке техники доказательства и привело к созданию понятия о дедуктивной теории. Греки старались сделать доказательства логически безукоризненными, исключить из них сомнительные выводы и неявные допущения, апеллирующие к наглядности. Они доказывали, а не показывали. Число явных допущений они стремились свести к минимуму, оставить из них лишь те, которые можно было считать выражением свойств «самих идей», а не вещей, т. е. свойств, открывающихся разуму, «внутреннему взору», а не органам чувств. Эти допущения включались в определения исходных понятий или, точнее, слов, ибо понятия (идеи) существовали для греков как объективная реальность, независимая от всяких слов, а определения нужны были лишь для того, чтобы не ошибиться в установлении соответствия между словами и понятиями. Так что явные допущения, делаемые греческими математиками, представлялись им не определениями в современном смысле слова (согласно которому определение порождает математический объект), а просто указаниями на те из истинных свойств реально существующих идей, которые постигаются разумом легче, чем другие, — без вспомогательных рассуждений. Если исключить это отличие и вытекающие из него вольности в обращении с элементарнейшими свойствами геометрических фигур, то в остальном греческая математика удовлетворяет самым высоким современным стандартам; в соотношении логической обоснованности понятий и строгости вывода она несравненно выше, чем европейская математика до середины XIX в. С другой стороны, образ мышления, выраженный в философии Платона, имел и отрицательное влияние. Прежде всего, он приводил к определенному «чистоплюйству» греческих ученых, нежеланию заниматься проблемами, имеющими прикладное, практическое значение. Это пренебрежение распространялось даже на приближенные вычисления. «Приближенными вычислениями стыдно заниматься свободному человеку, они — удел раба», — говорилось в то время. Действительно, приближенные вычисления не приводят к истинным соотношениям, а значит, и не имеют никакого отношения к миру идей; это занятие того же рода, как возделывание масличных деревьев или торговля оливковым маслом. Такая позиция, конечно, ограничивала приток новых задач и идей, способствовала канонизации и регламентации научной мысли, сдерживая тем самым ее развитие. Но, сверх этого, платонизм имел и более конкретное отрицательное влияние на математику, помешав грекам создать алгебраический язык. Это смогли сделать только менее вышколенные и более практичные европейцы. Ниже мы более подробно рассмотрим историю создания современного алгебраического языка и тормозящую роль платонизма, но сначала поговорим об ответах, которые дает современная наука на вопросы, поставленные в платоновское время, и о том, как выглядят ответы, данные Платоном, в исторической ретроспективе.

10.4. Что такое математика?

Для нас математика — это прежде всего язык, позволяющий создавать определенного рода модели действительности — математические модели. Как и в любом другом языке (или ответвлении языка), языковые объекты математики — математические объекты — суть материальные предметы, фиксирующие определенные функциональные единицы — математические понятия. Когда мы говорим, что объекты «фиксируют функциональные единицы», мы понимаем под этим, что человек, используя распознающие способности своего мозга, совершает над этими объектами или в связи с ними определенную языковую деятельность. Ясно, что не конкретный вид (форма, вес, запах) математического объекта играет роль в математике, а именно языковая деятельность, с ним связанная. Поэтому термины «математический объект» и «математическое понятие» часто употребляют как синонимы. Языковая деятельность в математике естественным образом распадается на две части: установление связи между математическими объектами и неязыковой реальностью (эта деятельность определяет семантику математических понятий) и преобразования внутри языка — математические выкладки и доказательства. Математической деятельностью обычно называют только вторую часть, а первую называют приложением математики.

Точки, линии, прямоугольные треугольники и прочее — все это математические объекты, это предметы, которые образуют наши геометрические чертежи или стереометрические модели: пятна краски, шарики из пластилина, проволочки, куски картона и т. п. Семантика этих объектов известна: точка, например, это объект, размерами и формой которого можно пренебречь. Таким образом, «точка» — это просто абстрактное понятие, характеризующее отношение объекта к его окружению. В некоторых случаях мы всю нашу планету рассматриваем как точку. Но когда мы строим математическую (геометрическую) модель, мы обычно наносим на бумагу маленькое пятнышко краски и говорим: «пусть дана точка A». Это пятнышко краски и есть языковый объект L_i, а планета Земля может оказаться в роли соответствующего объекта R_i. Никаких других, «настоящих» или «идеальных», т. е. не имеющих размеров, точек нет. Часто говорят, что «настоящих» точек нет в природе, но они существуют в нашем воображении. Это ходячее высказывание либо абсолютно бессмысленно, либо ложно — в зависимости от того, как его толковать. В любом случае оно приносит вред, так как затемняет суть дела. Никаких «настоящих» точек в нашем воображении нет и быть не может. Когда мы говорим, что представляем себе точку, мы просто представляем очень маленький предмет. Можно вообразить только то, что можно составить из данных чувственного опыта. Да и то далеко не все. Число тысяча, например, вообразить нельзя. И большие числа, и идеальные точки, и линии существуют не в нашем воображении, а в нашем языке — как языковые объекты, с которыми мы обращаемся определенным образом. В этих правилах обращения и проявляется сущность математических понятий, в частности «настояшесть» точки: размеры точек на чертеже не влияют на ход доказательства, а если надо поставить две точки так близко, что они сольются в одну, мы можем увеличить масштаб.

Но разве не свойственна утверждениям математики абсолютная точность и достоверность, резко отличающая их от содержания эмпирического знания, по преимуществу приблизительного и гипотетического? Путем измерения мы можем обнаружить, что два отрезка примерно равны, но никогда, что они равны в точности; такие утверждения — привилегия математики. На основании многовекового опыта человечества мы каждый вечер после захода Солнца можем предсказать, что завтра рано утром оно взойдет вновь. Но это предсказание — всего лишь гипотеза, хотя и весьма вероятная. Не исключена возможность, что где-то в недрах Солнца или вне его назревает космическая катастрофа неизвестной природы, в результате которой Солнце погаснет или развалится на части. Когда же мы говорим, что если к двум прибавить два, то будет четыре, или что уравнение x² = 2 не имеет рациональных решений, мы убеждены, что эти предсказания абсолютно достоверны и будут верны всегда и всюду, если даже не только Солнце, но и вся Галактика развалится на кусочки. Мы просто не можем представить себе, чтобы было иначе. Существует, следовательно, различие между математическими моделями действительности и другими моделями, составляющими содержание нашего житейского опыта и естественных наук. Какова же природа этого различия?

10.5. Точность сравнения величин

Легко видеть, что абсолютная точность сравнения измеримых объектов в математике и абсолютная однозначность математических утверждений являются просто следствием того, что язык математики представляет собой дискретную кибернетическую систему. В самом ли деле дискретную? По отношению к арифметике, алгебре и вообще к языку символов это не вызывает сомнения. Если головку у двойки увеличить или уменьшить, от этого она не превратится ни 2,01, ни в 1,99. Текст из N символов — это кибернетическая система из N подсистем, каждую из которых можно представлять себе в виде клеточки, содержащей символ; пусть полное число различных символов есть n, тогда каждая подсистема может находиться в одном из n состояний. Но геометрический язык — язык фигур — на первый взгляд представляется непрерывной системой. Линии на чертеже могут иметь произвольную длину, образовывать произвольные углы и т. д. И все же в действии геометрический язык оказывается дискретной системой. Детали геометрического чертежа такие, как значения длины отрезков и величин углов, не играют роли ни для хода доказательства, ни для декодирования чертежа. Существенны лишь такие особенности чертежа, как: пересекаются ли две данные прямые, проходит ли данная прямая через данную точку, лежит ли данная точка на пересечении данной прямой и данной окружности и т. п. Всю эту информацию можно закодировать текстом с помощью какой-либо специальной системы обозначений или просто на русском языке. Язык геометрии можно сравнить с языком игры в шахматы. Шахматные фигуры никогда не занимают строго центральное положение в квадратах шахматной доски, могут даже отчасти вылезать за пределы своего квадрата, но это никак не влияет на ходы, которые можно делать фигурами.

Утверждения об абсолютно точном равенстве отрезков, углов и т. п. это просто некоторые состояния системы «геометрический язык». Так как эта система дискретна и детерминированна — при условии соблюдения правил логического вывода, то, если из условий задачи следует, что AB = BC, мы неизменно будем получать этот результат, сколько бы раз ни повторяли доказательство (предполагается, конечно, что система аксиом не противоречива — только такие системы имеют право на существование в математике). Поскольку условие задачи уже формулируется на геометрическом языке, весь путь от условия к результату есть синтаксическое преобразование L₁– > L₂ внутри дискретной языковой системы. Совсем другой статус имеют утверждения эмпирического языка. Сам по себе этот язык, конечно, тоже дискретен, но эмпирические утверждения отражают семантические преобразования L₁– > S₁ выводящие нас в область неязыковой действительности, которая не является ни дискретной, ни детерминированной. Когда мы говорим, что два стержня имеют равную длину, это означает, что процесс их измерения будет всякий раз давать одинаковый результат. Однако из опыта известно, что, имея возможность неограниченно повышать точность измерения, мы рано или поздно обязательно получим разнящиеся значения длины, поэтому эмпирическое утверждение об абсолютно точном равенстве вообще лишено смысла. Другие утверждения эмпирического языка, которые имеют смысл и могут быть выражены на языке исчисления предикатов, например «стержень номер 1 меньше, чем стержень номер 2», обладают той же «абсолютной точностью», являющейся тривиальным следствием дискретности языка, что и математические утверждения о равенстве отрезков: это утверждение либо «в точности» истинно, либо «в точности» ложно. Однако из-за вариаций процесса измерения ни то, ни другое не является абсолютно достоверным.

10.6. Достоверность утверждений математики

Теперь о достоверности математических утверждений. Платон выводил ее из идеальности предмета математики, из того факта, что математика не опирается на призрачные и переменчивые данные чувственного опыта. Чертежи и символы, по Платону, являются лишь вспомогательным средством для математики, настоящие объекты, с которыми он оперирует, содержатся в его воображении и представляют собой результат восприятия разумом мира идей подобно тому, как чувственный опыт есть результат восприятия органами чувств материального мира. Нельзя не согласиться с тем, что воображение играет в работе математика решающую роль (как, впрочем, и во всех областях творческой деятельности). Правда, говорить, что математические объекты содержатся в воображении не совсем правильно: в основном они все-таки содержатся в чертежах и текстах, а воображение выхватывает их лишь небольшими частями. Мы не содержим, а, скорее, пропускаем математические объекты через воображение, и свойства нашего воображения определяют функционирование математического языка. Что же касается источника, определяющего содержание нашего воображения, то тут мы фундаментально расходимся с Платоном: источником является тот же чувственный опыт, что и в эмпирических науках. Поэтому математика создает — хотя и через посредство воображения — модели все того же, единственно существующего (насколько нам известно) мира, в котором мы живем.

Рис. 10.3. Построение равностороннего треугольника

Надо сказать, что греческие математики, создав изумительное по красоте здание логически строгих доказательств, все же оставили в нем ряд дырок, причем дырки эти лежат, как мы уже отмечали, в самых нижних этажах здания — в области определений и элементарнейших свойств геометрических фигур. А это и свидетельствует о завуалированном обращении к столь презираемому платониками чувственному опыту. Математика времен Платона дает даже более яркий материал, чем современная математика, для опровержения тезиса о её независимости от опыта.

Первое доказываемое предложение первой книги Евклида содержит способ построения равностороннего треугольника по заданной его стороне. Способ таков (рис. 10.3). Пусть AB — заданная сторона треугольника. Из точки A, взятой в качестве центра, опишем окружность_A радиуса AB. Такую же окружность (_B) опишем из точки B. Обозначим через C любую из точек пересечения этих окружностей. Треугольник ABC равносторонний, ибо AC = CВ = AB.