Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

11.2. Геометрическая алгебра

На рис. 11.1 показана хорошо известная геометрическая трактовка соотношения

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Столь же тривиальное с алгебраической точки зрения равенство

(a + b)(a– b) = a²– b²

требует уже более сложного геометрического рассмотрения. Ему соответствует следующая теорема во второй книге «Начал» Евклида (рис. 11.2):

«Если прямая линия разделена на равные и неравные части, то прямоугольник, содержащийся между неравными частями¹ всей прямой, вместе с квадратом отрезка между точками деления равен квадрату на половине прямой».

Доказывается теорема следующим образом.

Прямоугольник ABFE равен прямоугольнику BDHF. Прямоугольник BCGF равен прямоугольнику GHKJ. Если к этим двум прямоугольникам (образующим вместе прямоугольник ACGE, «содержащийся между неравными частями всей прямой») добавить квадрат FGJI, то получится как раз квадрат BDKI, построенный «на половине прямой». Итак, мы имеем равенство

(a + b)(a– b) + b² = a²,

эквивалентное приведенному выше, но не содержащее трудно интерпретируемого вычитания площадей.

Рис. 11.1. Геометрическая трактовка тождества (a + b)² = a² + 2ab + b²

Рис. 11.2. Геометрическая трактовка тождества (a + b)(a– b) = a²– b²

Ясно, что если даже эти простейшие алгебраические соотношения требуют в геометрической трактовке определенных усилий для понимания формулировки теоремы и изобретательности для ее доказательства, то далеко по этому пути продвинуться невозможно. Во всем, что касается собственно геометрии, греки проявили себя как искуснейшие мастера. Но та линия развития математики, которая началась с алгебры, а затем породила анализ бесконечно малых и современные аксиоматические теории, т. е. линия, связанная с использованием не языка фигур, а языка символов, оказалась им совершенно недоступной. Греческая математика осталась ограниченной, сдавленной узкими рамками понятий, имеющих наглядный геометрический смысл.

11.3. Архимед и Аполлоний

В Александрийскую эпоху (330–200 до н. э.) живут два великих ученых, в работах которых греческая математика достигает своей высшей точки, — Архимед (287–212 до н. э.) и Аполлоний (265?–170? до н. э.). Архимед в своих геометрических трудах уже далеко выходит за пределы фигур, образованных прямыми и окружностями. Он развивает теорию конических сечений, исследует спирали. Главная заслуга Архимеда в геометрии — многочисленные теоремы о площадях, объемах и центрах тяжести фигур и тел, образованных не только прямыми линиями и не только плоскими поверхностями. Он использует «метод исчерпывания». Чтобы проиллюстрировать круг задач, решаемых Архимедом, перечислим задачи, вошедшие в его сочинение «Метод», цель которого, как это видно из заглавия, не полная сводка результатов, а освещение метода работы. «Метод» содержит решение следующих 13 задач: площадь параболического сегмента, объем шара, объем сфероида (эллипсоида вращения), объем сегмента параболоида вращения, центр тяжести сегмента параболоида вращения, центр тяжести полушария, объем сегмента шара, объем сегмента сфероида, центр тяжести сегмента шара, центр тяжести сегмента сфероида, центр тяжести сегмента гиперболоида вращения, объем сегмента цилиндра, объем пересечения двух цилиндров (последняя задача — без доказательства).

Не меньшее значение, чем работы по геометрии, имели исследования Архимеда в области механики. Он открыл свой знаменитый «закон Архимеда», занимался законами равновесия тел. Он был необыкновенно искусен в изготовлении различных механических устройств и приспособлений. Благодаря машинам, сделанным под руководством Архимеда, жители его родного города Сиракузы отразили первый штурм города римлянами. Механические соображения часто использовались Архимедом в качестве подспорья при выводе геометрических теорем. Однако было бы ошибкой полагать, что Архимед хотя бы в чем-то отклонялся от традиционного греческого образа мышления. Он считал задачу решенной только тогда, когда находил безупречное с логической точки зрения геометрическое доказательство. Свои механические изобретения он рассматривал как забаву или же, как житейские занятия, не имеющие никакого научного значения. Плутарх пишет:

Хотя эти изобретения прославили его сверхчеловеческую мудрость, тем не менее он ничего не писал по таким вопросам, ибо полагал, что сооружение всякого рода машин и вообще всех приспособлений для практического употребления — дело низкое и неблагородное; сам же он стремился лишь к тому, что по красоте своей и совершенству находится далеко от царства необходимости.

Из всех своих достижений сам Архимед больше всего гордился доказательством того, что объем шара, вписанного в цилиндр, составляет две трети объема цилиндра. Он завешал изобразить на своей могильной плите цилиндр с вписанным в него шаром. Римский полководец Марцелл, солдат которого убил Архимеда после взятия Сиракуз, (как утверждают, вопреки распоряжению Марцелла), разрешил родственникам Архимеда выполнить завещание покойного.

Аполлоний прославился, главным образом, своей работой по теории конических сечений. Фактически эта работа — последовательное алгебраическое исследование кривых второго порядка, выраженное на геометрическом языке. В наше время все результаты, полученные Аполлонием, может легко проверить любой студент, используя методы аналитической геометрии. Но, чтобы сделать то же в рамках чисто геометрического подхода, Аполлонию потребовалось проявить чудеса математической интуиции и изобретательности.

11.4. Упадок греческой математики

Б. Ван дер Варден пишет²:

После Аполлония греческая геометрия сразу кончается. Правда, были еще эпигоны, вроде Диокла и Зенодора, которые время от времени решали некоторые задачи, оставшиеся им от Архимеда и Аполлония, словно крохи от пира великих. Писались еще, правда, произведения типа сборников вроде сочинения Паппа Александрийского (300 г.); математика еще применялась для практических или астрономических задач, причем разрабатывалась плоская и сферическая тригонометрия. Но, кроме тригонометрии, ничего значительного, ничего нового уже не появлялось. Геометрия конических сечений дожила до Декарта в той форме, какую придал ей Аполлоний; произведения Аполлония читались очень мало, а частью были также утрачены. «Метод» Архимеда также был потерян из вида, и проблема интегрирования оставалась без движения, пока за нее не взялись снова в XVII в. ...

Упадок греческой математики частично был вызван причинами внешнего порядка — политическими бурями, охватившими Средиземноморскую цивилизацию. Однако решающее значение имели все же внутренние причины. В астрономии, замечает Ван дер Варден, развитие шло все время по восходящей линии; тут бывали короткие и длинные остановки, но после их окончания работа возобновлялась с того места, где она остановилась. В геометрии же имел место явный регресс. Причина кроется, конечно, в отсутствии алгебраического языка. У Ван дер Вардена мы читаем:

Уравнения первой и второй степени можно было хорошо передать на языке геометрической алгебры; в крайнем случае, это было возможно для уравнений третьей степени. Но пойти дальше можно было, только пользуясь громоздкими и утомительными средствами пропорций.

Гиппократ, например, приводил кубические уравнения x³ = V к пропорции

a : х = х : у = у : b,