Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

а Архимед писал уравнение третьей степени

х²(a– х) = bс²

в виде пропорции

(a– x) : b = c² : x².

Этим путем еще можно добраться до уравнений четвертой степени; примеры этого, пожалуй, можно найти и у Аполлония. Однако дальше пойти нельзя; больше того, чтобы получать результаты этим в высшей степени сложным методом, нужно было еще обладать математическим гением и быть весьма искушенным по части преобразования пропорций при помощи геометрических фигур. Нашими алгебраическими обозначениями может пользоваться каждый инженер или естествоиспытатель, а греческой теорией пропорций и геометрической алгеброй —только очень одаренный математик.

К этому присоединяется еще другое обстоятельство, а именно трудность письменной передачи.

Чтение доказательств у Аполлония требует долгого и напряженного размышления. Вместо удобной алгебраической формулы стоит длинная фраза, где каждый отрезок обозначается двумя буквами, которые всякий раз еще нужно отыскивать на чертеже. Чтобы понять ход мыслей, приходится заменять эти фразы современными сжатыми формулами...

При устном объяснении на отрезки можно указывать пальцем, можно делать ударение на особенно важных местах и, кроме того, можно рассказать, каким образом получилось доказательство. Все это отпадает в письменной формулировке строго классического стиля: доказательства закончены, логически обоснованы, но они ничего не подсказывают. Не можешь ничего возразить, чувствуешь, что попался в логическую мышеловку, но не видишь, какая основная линия рассуждений за этим скрывается.

Таким образом, пока еще традиция не прерывалась, пока каждое поколение могло передавать свою методику следующему, все шло хорошо и наука процветала. Но как только по ряду причин внешнего характера устная передача прерывалась, и оставались только одни книги, понимать труды великих предшественников становилось крайне трудно, а выйти за их пределы и двинуться вперед — почти невозможно.

Почему же греки, несмотря на их высокую математическую культуру и обилие одаренных математиков, так и не смогли создать алгебраического языка? Обычный ответ на этот вопрос таков, что этому помешала именно их высокая математическая культура, конкретнее — высокий уровень требований к логической строгости теории, ибо иррациональные числа, которыми, как правило, выражаются значения геометрических величин, греки не могли рассматривать как числа; если отрезки были несоизмеримы, то считалось, что числового отношения для них просто не существует. Это объяснение, хотя оно и верно в общих чертах, следует вместе с тем признать неточным и поверхностным. Стремление к логической строгости не может быть само по себе отрицательным фактором в развитии математики. Если оно выступает в качестве отрицательного фактора, то, очевидно, лишь в комбинации с какими-то другими факторами и вряд ли следует решающую роль в этой комбинации приписывать именно стремлению к строгости. Совершенная логическая строгость в окончательных формулировках и доказательствах не мешала Архимеду пользоваться нестрогими наводящими соображениями. Почему же она помешала созданию алгебраического языка? Здесь дело, конечно, не просто в высоком стандарте логической строгости, а во всем строе мышления, в философии математики. Декарт, создав современный алгебраический язык, вышел за рамки греческого канона, но это вовсе не значит, что он погрешил против законов логики или пренебрегал доказательствами. И иррациональные числа он мыслил как «точные», а вовсе не как замененные на свои приближенные значения. Некоторые неполадки с логикой начались уже после Декарта, в эпоху бурного развития анализа бесконечно малых. Тогда математики были так увлечены потоком открытий, что им просто было не до логических тонкостей. В XIX в. появилось время подумать, и под анализ была подведена более прочная логическая основа.

Причины ограниченности греческой математики мы уясним себе после того, как разберем сущность переворота в математике, произведенного Декартом.

11.5. Арифметическая алгебра

Успехи геометрии оттеснили на задний план искусство решения уравнений. Однако оно продолжало развиваться и породило арифметическую алгебру. Возникновение алгебры из арифметики — это типичный метасистемный переход. Когда ставится задача о решении уравнения — независимо от того, формулируется ли она на обычном разговорном языке или на специализированном, — это еще задача арифметическая. И когда указывается общий метод решения — на примерах, как это делается в начальной школе, или даже в виде формулы, мы все еще не выходим за пределы арифметики. Алгебра начинается тогда, когда сами уравнения становятся объектом деятельности, когда изучаются свойства уравнений и правила их преобразования. Наверно, каждый, кто помнит, как он познакомился с алгеброй в школе (если только это было на уровне понимания, а не зазубривания), помнит и то радостное чувство изумления, которое испытываешь, когда оказывается, что разнотипные арифметические задачи, приемы решения которых представлялись друг с другом совершенно не связанными, решаются путем однотипных преобразований уравнений по нескольким простым и понятным правилам. Все ранее известные методы вписываются в стройную систему, открываются новые методы, вводятся в рассмотрение новые уравнения и целые классы уравнений (закон разрастания предпоследнего уровня), появляются новые понятия, не имеющие решительно никакого смысла в рамках собственно арифметики: отрицательные, иррациональные и мнимые числа.

Принципиальной необходимости создания специализированного языка для развития алгебры нет. Однако на деле только созданием специализированного языка завершается метасистемный переход в головах людей. Специализированный язык дает возможность убедиться, что мы имеем дело с некоей новой реальностью — в данном случае с уравнениями, которые можно рассматривать как объект выкладок, подобно объектам предыдущего уровня — числам. Людям свойственно не замечать воздуха, которым они дышат, и языка, которым все время пользуются. Созданный же вновь специализированный язык выпадает из сферы естественного языка и представляется частью неязыковой действительности. Это способствует метасистемному переходу. И, конечно, огромную роль играют практические удобства использования специализированного языка: обозримость выражений, уменьшение затрат на переписывание и т. п.

Арабский ученый Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (780–850) написал несколько сочинений по математике, которые в XII в. были переведены на латынь и на протяжении четырех столетий служили в Европе важнейшими учебными пособиями. Одно из них — «Арифметика» — донесло до европейцев десятичную систему счисления и правила (алгоритмы — от имени ал-Хорезми) выполнения четырех действий арифметики над числами, записанными по этой системе. Другое сочинение называлось «Книга об ал-джебр и ал-мукабала». Оно имело целью обучить искусству решения уравнений, которое необходимо, по словам автора, «в случаях наследования, раздела имущества, торговли и во всех деловых взаимоотношениях, а также при измерении земель, проведении каналов, геометрических вычислений и в других случаях...» «Ал-джебр» и «ал-мукабала» – два приема, которые ал-Хорезми использует для решения уравнений. Эти приемы он придумал не сам, они описываются и используются уже в «Арифметике» позднегреческого математика Диофанта (III в.), прославившегося своими методами решения целочисленных (диофантовых) уравнений. В той же «Арифметике» Диофанта встречаются и зачатки буквенной символики. Поэтому если считать кого-то родоначальником арифметической алгебры, то, очевидно, это будет Диофант. Однако в Европе об алгебраических приемах узнали впервые от ал-Хорезми, а труды Диофанта стали известны гораздо позже. Никакой специальной алгебраической символики, даже в зачаточном состоянии, у ал-Хорезми нет. Уравнения фигурируют в виде записи на естественном языке. Но мы для краткости опишем эти приемы и приведем пример, пользуясь современной символикой.

Ал-джебр — это перенесение вычитаемых членов из одной части уравнения в другую; ал-мукабала — вычитание из обеих частей уравнения одинакового члена. Эти приемы ал-Хорезми рассматривает как различные, ибо понятие об отрицательном числе у него отсутствует.

Возьмем для примера уравнение

7x– 11 = 5x– 3.

Применяя прием ал-джебр два раза — для вычитаемого 11 и для вычитаемого 3, получаем

7x + 3 = 5x + 11.

Теперь применим два раза прием ал-мукабала — для члена 3 и для члена 5х. Получаем

2x = 8.

Отсюда х = 4.

Итак, хотя ал-Хорезми не использует специального алгебраического языка, его книга содержит первые наметки алгебраического подхода. Европейцы по достоинству оценили этот подход и дали ему дальнейшее развитие. Само слово «алгебра» происходит от названия первого из приемов ал-Хорезми.

11.6. Италия, XVI век

В первой половине XVI в. благодаря усилиям итальянских математиков в алгебре происходят крупные сдвиги, сопровождаемые весьма драматическими событиями. Профессор Болонского университета Сципион Даль Ферро (1465–1526) находит общее решение уравнения третьей степени

х³ + рх = q

при положительных р и q, но держит его в секрете, ибо оно представляет большую ценность на соревнованиях по решению задач, которые тогда широко практиковались в Италии. Перед смертью он открывает секрет своему ученику Фиоре. В 1535 г. Фиоре вызывает на соревнование талантливейшего математика Никколо Тарталью (1499–1557), который, зная, что Фиоре обладает способом решения кубического уравнения, прилагает максимум усилий и сам находит решение! Тарталья побеждает на соревновании, но также держит свое открытие в секрете. Наконец, на сцене появляется Джероламо Кардано (1501–1576). Он тщетно пытается найти алгоритм решения кубического уравнения и в 1539 г. обращается к Тарталье с просьбой поведать ему тайну. Взяв с Кардано «священную клятву» молчания, Тарталья частично и в не слишком вразумительной форме приоткрывает для него завесу. Кардано не удовлетворяется и прилагает усилия, чтобы ознакомиться с рукописью покойного Даль Ферро. Это ему удается, и в 1545 г. он публикует книгу, в которой сообщает алгоритм, сводящий решение кубического уравнения к радикалам («формула Кардано»). В этой же книге содержится еще одно открытие, сделанное учеником Кардано Луиджи (Лудовико) Феррари (1522–1565), а именно решение в радикалах уравнения четвертой степени. Тарталья обвиняет Кардано в нарушении клятвы, завязывается острая и продолжительная полемика. При таких обстоятельствах заявляет о своих первых существенных достижениях математика Нового времени.

Использование инструмента подсказывает пути к его усовершенствованию. Стремясь к единообразному решению уравнений, математики обнаружили, что для достижения этой цели чрезвычайно полезно внести некоторые новые объекты и обращаться с ними так, как если бы это были числа. Их и называют числами, хотя понимают, что они отличаются от «настоящих» чисел; это проявляется в том, что им придают такие эпитеты, как «ложные», «фиктивные», «непостижимые», «мнимые». Чему они соответствуют в действительности, остается не совсем ясным или совсем неясным. Законно ли их использование, тоже остается спорным. Тем не менее, их используют все шире, ибо с их помощью получаются конечные результаты, которые содержат лишь «настоящие» числа и которые нельзя получить иначе. Человек, последовательно придерживающийся учения Платона, не мог бы использовать «ненастоящие» числа. Однако индийские, арабские и итальянские математики отнюдь не были последовательными платониками; здоровое любопытство и прагматические соображения перевешивали для них теоретическую недозволенность. Правда, при этом они все-таки делали оговорки и как бы извинялись за свое «некорректное» поведение.

Все «ненастоящие» числа — продукт обратного хода арифметической модели, они формально являются решениями таких уравнений, которые не имеют решения в области «настоящих» чисел. В первую очередь надо назвать отрицательные числа. Мы находим их уже в довольно развитом виде у индийского математика Бхаскары (XII в.), который совершает над ними все четыре действия арифметики. Интерпретация отрицательного числа как долга (в противоположность имуществу) была известна индусам еще в XII в. Бхаскара, формулируя правила действий над отрицательными числами, называет их «долг», а положительные — «имущество». Объявить отрицательное число таким же абстрактным понятием, как положительное число, он не решается. «Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел», — пишет Бхаскара. Примерно так же относятся к отрицательным числам и в Европе XV–XVI вв. При геометрической интерпретации отрицательные корни называют «ложными» в отличие от «истинных» положительных корней. Современная интерпретация отрицательных чисел как точек, лежащих левее точки нуль, появилась только в «Геометрии» Декарта (1637 г.). По традиции Декарт называл отрицательные корни «ложными».