Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

(n)(х){P(x) P[fⁿ(x)]}.

По своему происхождению и характеру логические аксиомы и аксиома индукции (которую относят к арифметике, так как она включает понятие числа) ничем не отличаются от остальных аксиом: все они суть математические аксиомы. Различие существует лишь в характере их использования. Когда математические аксиомы применяются к математическим утверждениям, они становятся элементами метасистемы. в рамках системы математически достоверных утверждений и мы называем их логическими аксиомами. Благодаря этому система математически достоверных утверждений становится способной к развитию. Великое открытие греков состояло в том, что можно прилагать достоверное к достоверному, и получать таким образом новое достоверное.

10.9. Сваи, уходящие вглубь

Описание математических аксиом как моделей действительности, которые истинны не только в сфере реального опыта, но и в сфере воображения, опирается на их субъективное восприятие. Можно ли дать им более объективную характеристику. Воображение возникает на определенном этапе развития нервной системы как произвольное ассоциирование представлений. Предыдущим этапом был этап непроизвольного ассоциирования (уровень собаки). Естественно предположить, что переход от непроизвольного ассоциирования к произвольному не произвел существенной перемены в том материале, который имеется в распоряжении ассоциирующей системы, т. е. в представлениях, образующих ассоциации,— это следует из иерархического принципа устройства и развития нервной системы, при котором надстройка верхних этажей слабо влияет на нижние. Из того же принципа следует, что в процессе предыдущего перехода — от фиксированных понятий к непроизвольному ассоциированию — самые нижние уровни системы понятий остались неизменными и обусловили те всеобщие глубокие свойства представлений, которые были в наличии и до ассоциирования и которые ассоциирование изменить не может. Не может изменить их и воображение. Эти свойства инвариантны относительно преобразований, осуществляемых воображением. На них-то и опираются математические аксиомы. Если представить себе деятельность воображения как перетасовку и склейку каких-то элементов, «кусков» чувственного восприятия, то аксиомы — это модели, которые истинны для каждого куска и поэтому — для любой их комбинации. Способность воображения разрезать чувственный опыт на куски не безгранична, ибо, возникая на некотором этапе развития, оно принимает уже существующую систему понятий как некий фон, как основу, не подлежащую переделке. Такие глубокие понятия, как движение, тождество, непрерывность, заложены были в этом фоне, поэтому и модели, опирающиеся на эти понятия, оказываются универсально истинными не только для реального опыта, но и для любых конструкций, которые способно создать воображение. Математика образует каркас здания естественных наук. Ее аксиомы — это сваи, уходящие в самую глубь нейронных понятий, ниже того уровня, где начинает хозяйничать воображение. Отсюда та прочность основы, которая отличает математику от эмпирического знания. Она пренебрегает поверхностными ассоциациями, составляющими каждодневный жизненный опыт, предпочитая продолжать строительство костяка системы понятий, начатого природой и заложенного в нижние уровни иерархии. И уже на этом костяке будут образовываться «необязательные» модели, которые мы относим к естественным наукам, как на базе врожденных и «обязательных» понятий низшего уровня образуются «необязательные» ассоциации представлений, составляющие содержание жизненного опыта. Требования, диктуемые математикой, обязательны; строя модели действительности, мы не можем обойти их, если бы даже захотели. Поэтому возможную неистинность теории мы всегда выносим за пределы сферы действия математики. Если обнаруживается расхождение между теорией и экспериментом, изменяют внешнюю, «необязательную» часть теории, но никому не приходит в голову высказать предположение, что в данном случае оказалось неверным равенство 2 + 2 = 4.

«Обязательность» классических математических моделей не противоречит появлению математических и физических теорий, которые, на первый взгляд, вступают в конфликт с нашей пространственно-временной интуицией (например, неевклидова геометрия или квантовая механика). Эти теории суть языковые модели действительности, полезность которых проявляется не в сфере повседневного опыта, а в весьма специальных ситуациях. Они не разрушают и не заменяют классических моделей, а продолжают их. Так, квантовая механика опирается на классическую. А какая теория может обойтись без арифметики? Парадоксы и противоречия возникают тогда, когда мы забываем, что понятия-конструкты, входящие в новую теорию, это — новые понятия, если даже их обозначают старыми именами. Мы говорим о «прямой» в неевклидовой геометрии и называем электрон «частицей», хотя языковая деятельность, связанная с этими словами, — доказательство теорем и квантово-механические выкладки — совсем не такая, как в прежних теориях, из которых были заимствованы термины. Если дважды два не равно четырем, то либо два — не два, либо «жды» — не «жды», либо четыре — не четыре.

Особую роль математики в процессе познания можно выразить в виде утверждения, что математические понятия и аксиомы представляют собой не результат, а условие и форму познания действительности. Эта мысль была развита Кантом, и с ней можно согласиться, если рассматривать человека как полностью данное существо и не задавать себе вопроса: а почему человеку свойственны эти условия и формы познания? Но, задав этот вопрос, мы должны прийти к выводу, что они сами являются моделями действительности, выработанными в процессе эволюции (который в одном из важных своих аспектов есть не что иное, как процесс познания мира живыми структурами). С точки зрения законов природы принципиальной разницы между математическими и эмпирическими моделями нет; это разграничение отражает лишь наличие в устройстве человеческого мозга черты, отделяющей врожденные модели от благоприобретенных. Положение этой черты, надо полагать, содержит элемент исторической случайности. Проходи она в другом уровне, мы, возможно, были бы не в силах вообразить, что солнце может не взойти или что человек может парить над землей, как будто силы тяжести не существует.

10.10. Платонизм в ретроспективе

Идеализм Платона — результат своеобразной проекции элементов языка в действительность. «Идеи» Платона имеют то же происхождение, что и духи первобытного мышления, — это воображаемые значения реально существующих имен. На первых этапах развития критического мышления еще не существует правильного понимания природы абстрагирования и взаимоотношения между языковыми объектами и неязыковой деятельностью. Первобытный комплекс имя-значение еще навязывает представление о взаимно однозначной связи между именем и значением. Для слов, обозначающих определенный, единственный предмет, взаимная однозначность как будто имеет место, ибо предмет мы представляем себе как что-то одно. А как быть с общими понятиями (универсальными)? В сфере реально существующего для значений вообще не остается места, все расхватано «единичными» понятиями — ведь к каждому предмету можно подкрепить бирку с именем. Образующуюся пустоту и заполняет «идея». Подчеркнем, что идеализм Платона отнюдь не включает утверждения о примате духовного над материальным, т. е. не является спиритуализмом (этот термин, широко используемый в западно-европейской литературе, у нас мало употребителен и часто заменяется термином «идеализм», что приводит к неточностям). Духовный опыт, по Платону, это такая же эмпирия, как чувственный опыт, и никакого отношения к миру идей не имеет. «Идеи» Платона — чистые призраки, причем призраки, порожденные не духовным, а чувственным опытом.

С современной кибернетической точки зрения единичным понятием можно считать только строго определенную, единичную ситуацию, т. е. указание всех рецепторов, образующих вход нервной системы. Нечего и говорить, что субъективно мы совершенно не осознаем единичных, в этом смысле, понятий. Близкие ситуации становятся неразличимыми где-то на самых ранних стадиях обработки информации, и представления, с которыми имеет дело наше сознание, это обобщенные состояния, т. е. общие, или абстрактные понятия (множество ситуаций). Понятия об определенных предметах, которые традиционная логика наивно принимает за первичные элементы чувственного опыта и называет «единичными» понятиями, в действительности, как показано выше, являются весьма сложными конструкциями, требующими анализа киноленты ситуаций и опирающимися на более элементарные абстрактные понятия, такие, как непрерывность, форма, цвет, пространственные отношения и т. п. Причем чем «конкретнее» понятие с точки зрения логики, тем сложнее оно с точки зрения кибернетики. Так, «конкретная кошка» отличается от «просто кошки» тем, что для придания смысла первому понятию требуется более длинная кинолента ситуаций, чем второму, строго говоря даже бесконечно длинная, ибо, имея в виду конкретную кошку, мы имеем в виду не только ее «личное дело», которое ведется со дня рождения, но и всю ее генеалогию. По своей природе «конкретные» и «абстрактные» понятия ничем принципиально не различаются, и те и другие отражают свойства реального мира. Если различие и есть, то оно противоположно тому, которое усматривает традиционная логика: абстрактные общие понятия чувственного и духовного опыта (не смешивать с конструктами математики!) проще и ближе к природе, чем конкретные понятия, связанные с определенными предметами. Логиков ввело в заблуждение то обстоятельство, что в языке конкретные понятия появляются раньше, чем абстрактные. Но это как раз свидетельствует об их относительно более высоком положении в иерархии нейронных понятий-положений, благодаря которому они оказались на стыке с языковыми понятиями.

Платоновская теория идей, постулировав вымышленное идеальное бытие обобщенных предметов, поставила одноместные предикаты (свойства) в выделенное положение по сравнению с многоместными предикатами (отношениями), она придала свойствам статус истинного бытия, в котором отказала отношениям. Это со всей наглядностью проявилось в логике Аристотеля. Отсюда предметность и статичность мышления, столь характерная для греков классического периода. В следующей главе мы увидим, как этот образ мышления отразился на развитии математики.

¹ Созвучие с русским не случайно, это древний индоевропейский корень (ср. лат. vidi — увидел).

² Для знакомых с математической логикой заметим: в широком смысле, включая правила вывода.

Глава 11. От Евклида до Декарта

11.1. Число и величина

Во времена Пифагора и ранних пифагорейцев руководящую высоту в греческой математике занимало понятие числа. Пифагорейцы считали: Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единство, а мир — множественность. Божественная гармония в устройстве Космоса проявляется в виде числовых отношений. Немалую роль в этом убеждении сыграло открытие пифагорейцами того факта, что сочетания звуков, приятные для слуха (гармонические), создаются в том случае, когда струна укорачивается в отношениях, образуемых минимальными целыми числами: 1:2 (октава), 2:3 (квинта), 3:4 (кварта) и т. д. Числовая мистика пифагорейцев отражала их веру в то, что, в конечном счете, все закономерности природных явлений вытекают из свойств целых чисел.

Мы видим здесь проявление человеческой склонности к переоценке только что сделанных открытий. Физики конца XIX в. полагали подобно пифагорейцам, что они имеют универсальный ключ ко всем явлениям природы и что при надлежащем усердии с его помощью можно раскрыть секрет любого явления. Этот ключ — представление о пространстве, заполненном частицами и полями, которые подчиняются уравнениям Ньютона и Максвелла. Однако с открытием радиоактивности и дифракции электронов высокомерие физиков разлетелось в пух и прах.

В случае с пифагорейцами аналогичную роль сыграло открытие существования несоизмеримых отрезков, т. е. таких отрезков, что отношение их длин не выражается никаким отношением целых чисел (рациональным числом). Не соизмеримы, например, сторона квадрата и его диагональ. Это утверждение легко доказать, опираясь на теорему Пифагора. В самом деле, допустим противное, т. е. что диагональ квадрата находится в некотором отношении m:n к его стороне. Если числа m и n имеют общие множители, их можно сократить, поэтому будем считать, что общих множителей у m и п нет. Значит, при измерении длины некоторым единичным отрезком длина стороны есть n, а диагонали m. Из теоремы Пифагора следует, что должно иметь место равенство m² = 2n². Следовательно, m² должно делиться на 2, а, следовательно, 2 должно быть в числе делителей m, т. е. m = 2m₁. Делая эту подстановку, получаем 4m₁² = 2n², т. e. 2m₁² = n². Значит, n также должно делиться на 2, что противоречит предположению об отсутствии у m и n общих множителей. На это доказательство часто ссылается Аристотель. Полагают, что оно было обнаружено еще пифагорейцами.

Если существуют величины, которые при заданном масштабе не выражаются числами, то число не может больше считаться основой основ, оно низвергается со своего пьедестала. Математикам приходится теперь пользоваться более общим понятием геометрической величины, и изучать отношения между величинами, которые иногда (скорее, в виде исключения, чем правила) могут выражаться отношением целых чисел. Такой подход лежит в основе всей греческой математики, начиная с классического периода. Соотношения, которые мы знаем как алгебраические равенства, были известны грекам в геометрической формулировке как отношения между длинами, площадями, объемами построенных определенным образом фигур.