Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

(20.15)

(20.16)

Поскольку временные производные как x-компоненты магнит­ного поля, так и

y-компоненты магнитного поля равны нулю, то обе эти компоненты суть попросту постоянные поля и отве­чают найденным раньше магнитостатическим решениям. Ведь кто-то мог оставить постоянный магнит возле того места, где распространяются волны. Мы будем игнорировать эти по­стоянные поля и положим В_хи В_yравными нулю.

Кстати, о равенстве нулю x-компонент поля В мы должны были бы заключить и по другой причине. Поскольку диверген­ция В равна нулю (по третьему уравнению Максвелла), то мы, прибегая при рассмотрении электрического поля к тем же доводам, что и выше, должны были бы прийти к выводу, что продольная компонента магнитного поля не может изменяться вдоль х. А раз мы такими однородными полями в наших вол­новых решениях пренебрегаем, то нам следовало бы положить В_хравным нулю. В плоских электромагнитных волнах поле В, равно как и поле Е, должно быть направлено поперек направ­ления распространения самих волн.

Равенство (20.16) дает нам добавочное утверждение о том, что если электрическое поле имеет только y-компоненту, то магнитное поле имеет только z-компоненту. Значит, Е и В перпендикулярны друг другу. Именно это и наблюдалось в той волне особого типа, которую мы уже рассмотрели.

Теперь мы готовы использовать последнее из уравнений Максвелла для пустого пространства [т. е. IV из (20.12)1. Рас­писывая покомпонентно, имеем

(20.17)

Из шести производных от компонент В только dB_z/dx не равна нулю. Так что три уравнения просто дают

(20.18)

Итог всей нашей деятельности состоит в том, что отличны от нуля только по одной компоненте электрического и магнит­ного полей и эти компоненты обязаны удовлетворять уравне­ниям (20.16) и (20.18). Эти два уравнения можно объединить в одно, если первое из них продифференцировать по х, а второе— по t; тогда левые стороны уравнений совпадут (с точностью до множителя с²). И мы обнаруживаем, что Е подчиняется урав­нению

(20.19)

Мы уже встречали это дифференциальное уравнение, когда изучали распространение звука. Это волновое уравнение для одномерных волн.

Заметьте, что в процессе вывода мы получили больше, чем содержится в (20.11). Уравнения Максвелла дали нам ин­формацию и о том, что у электромагнитных волн есть только компоненты поля, расположенные под прямым углом к направ­лению распространения волн.

Вспомним все, что нам известно о решениях одномерного волнового уравнения. Если какая-то величина ш удовлетво­ряет одномерному волновому уравнению

(20.20)

то одним из возможных решений является функция ш (x, t),

имеющая вид

(20.21)

т. е. функция одной-единственной переменной (x-ct). Функция i(x-ct) представляет собой «жесткое» образование вдоль оси х, которое движется по направлению к положительным х со ско­ростью с (фиг. 20.4). Так, если максимум функции f приходится на нулевое значение аргумента, то при t=0 максимум ш ока­зывается при x=0. В более поздний момент, скажем при t=10, максимум ш окажется в точке х=10 с. Когда время движется, максимум тоже движется в сторону возрастания х со скоростью с. Порой удобнее считать, что решение одномерного волно­вого уравнения является функцией от (t-х/с). Однако в сущ­ности это одно и то же, потому что любая функция от (t-х/с)— это

также функция от (x-ct):

Покажем, что f(x-ct) действительно есть решение волнового уравнения. Поскольку f зависит лишь от одной переменной — переменной (x-ct), то мы будем через f' обозначать производ­ную fпо этой переменной, а через f"— вторую производную.

Фиг. 20.4. Функция f(x-ct) представляет неизменный «контур», движущийся в направлении возрастания х со скоростью с.

Дифференцируя (20.21) по х, получаем

потому что производная от (x-ct) no x равна единице. Вторая производная ш no x равна

(20.22)

А производные ш no t дают

(20.23)

Мы убеждаемся, что ш действительно удовлетворяет одномер­ному волновому уравнению.

Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением вол­нового уравнения является f(x-ct)? Мне эта проверка задним числом совсем не нравится. Нет ли прямого пути отыскать ре­шение?» Хорошо, вот вам прямой путь: знать решение. Можно, конечно, «испечь» по всей науке прямые математические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть реше­ние, но с таким простым, как у нас, уравнением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только; увидите уравнение (20.20), тут же будете представлять себе f(x-ct)=шв качестве решения. (Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от x²dx у вас сразу всплывает ответ x³/3.)

На самом деле вы должны представлять себе немножко больше. Решением является не только любая функция от (x-ct), но и функция от (х+сt). Из-за того, что в волновом урав­нении с встречается только в виде с², изменение знака с ничего не меняет. И действительно, самое общее решение одномерного волнового уравнения — это сумма двух произвольных функций, одной от аргумента (x-ct), а другой от (x+ct):

(20.24)

Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным х, второе — произвольную волну, бегущую к отрицательным х. Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.

Следующий забавный вопрос решите сами. Возьмем функ­цию ш в виде

ш=coskxcoskct.

Эта функция не имеет вида f(x-ct) или g(x+ct). Но прямой подстановкой в (20.20) легко убедиться, что она удовлетворяет волновому уравнению. Но как же мы тогда смеем говорить, что общее решение имеет вид (20.24)?