Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

Вы можете тоже сказать: «Профессор, дайте мне, пожалуй­ста, приближенное описание электромагнитных волн, пусть даже слегка неточное, но такое, чтобы я смог увидеть их так, как я могу увидеть почти невидимых ангелов. И я видоизменю эту картину до нужной абстракции».

Увы, я не могу этого сделать для вас. Я просто не знаю как. У меня нет картины этого электромагнитного поля, которая была бы хоть в какой-то степени точной. Я узнал об электро­магнитном поле давным-давно, 25 лет тому назад, когда я был на вашем месте, и у меня на 25 лет больше опыта размышлений об этих колеблющихся волнах. Когда я начинаю описывать магнитное поле, движущееся через пространство, то говорю о полях Е и В, делаю руками волнистые движения и вы можете подумать, что я способен их видеть. А на самом деле, что я при этом вижу? Вижу какие-то смутные, туманные, волнистые линии, на них там и сям надписано Е и В, а у других линий имеются словно какие-то стрелки, то здесь, то там на них есть стрелки, которые исчезают, едва в них вглядишься. Когда я рассказываю о полях, проносящихся сквозь пространство, в моей голове катастрофически перепутываются символы, нуж­ные для описания объектов, и сами объекты. Я не в состоянии дать картину, хотя бы приблизительно похожую на настоя­щие волны. Так что, если вы сталкиваетесь с такими же затруд­нениями при попытках представить поле, не терзайтесь, дело обычное.

Наша наука предъявляет воображению немыслимые требо­вания. Степень воображения, которая теперь требуется в науке, несравненно превосходит то, что требовалось для некоторых прежних идей. Нынешние идеи намного труднее вообразить себе. Правда, мы используем для этого множество средств. В ход пускаются математические уравнения и правила, рисуют­ся различные картинки. Вот сейчас я ясно осознаю, что всегда, когда я завожу речь об электромагнитном поле в пространстве, фактически перед моим взором встает своего рода суперпози­ция всех тех диаграмм на эту тему, которые я когда-либо виды­вал. Я не воображаю себе маленьких пучков линий поля, сную­щих туда и сюда; они не нравятся мне потому, что если бы я двигался с иной скоростью, то они бы исчезли. Я не всегда вижу и электрические, и магнитные поля, потому что временами мне кажется, что гораздо правильнее была бы картина, включаю­щая векторный и скалярный потенциалы, ибо последние, по­жалуй, имеют больший физический смысл, чем колебания полей.

Быть может, вы считаете, что остается единственная надеж­да на математическую точку зрения. Но что такое математичес­кая точка зрения? С математической точки зрения в каждом месте пространства существует вектор электрического поля и вектор магнитного поля, т. е. с каждой точкой связаны шесть чисел. Способны ли вы вообразить шесть чисел, связанных с каждой точкой пространства? Это слишком трудно. А можете вы вообразить хотя бы одно число, связанное с каждой точкой пространства? Я лично не могу! Я способен себе представить такую вещь, как температура в каждой точке пространства. Но это, по-видимому, вообще вещь представимая: имеется теплота и холод, меняющиеся от места к месту. Но, честное слово, я не способен представить себе число в каждой точке.

Может быть, поэтому стоит поставить вопрос так: нельзя ли представить электрическое поле в виде чего-то сходного с температурой, скажем, похожего на смещения куска студня? Сначала вообразим себе, что мир наполнен тонкой студенистой массой, а поля представляют собой какие-то искривления (скажем, растяжения или повороты) этой массы. Вот тогда можно было бы себе мысленно вообразить поле. А после того, как мы «увидели», на что оно похоже, мы можем отвлечься от студня. Именно это многие и пытались делать довольно долгое время. Максвелл, Ампер, Фарадей и другие пробовали таким способом понять электромагнетизм. (Порой они называли абстрактный студень «эфиром».) Но оказалось, что попытки вообразить электромагнитное поле подобным образом на самом деле препятствуют прогрессу. К сожалению, наши способности к аб­стракциям, к применению приборов для обнаружения поля, к использованию математических символов для его описания и т. д. ограниченны. Однако поля в известном смысле — вещь вполне реальная, ибо, закончив возню с математическими урав­нениями (все равно, с иллюстрациями или без, с чертежами или без них, пытаясь представить поле въяве или не делая таких попыток), мы все же можем создать приборы, которые поймают сигналы с космической ракеты или обнаружат в миллиарде све­товых лет от нас галактику, и тому подобное.

Вопрос о воображении в науке наталкивается зачастую на непонимание у людей других специальностей. Они принимаются испытывать наше воображение следующим способом. Они говорят: «Вот перед вами изображены несколько людей в неко­торой ситуации. Как вы представляете, что с ними сейчас слу­чится?» Если вы ответите: «Не могу себе представить», они мо­гут счесть вас за человека со слабым воображением. Они про­глядят при этом тот факт, что все, что допускается воображать в науке, должно согласовываться со всем прочим, что нам изве­стно: что электрические поля и волны, о которых мы говорим, это не просто удачные мысли, которые мы вызываем в себе, если нам этого хочется, а идеи, которые обязаны согласовы­ваться со всеми известными законами физики. Недопустимо всерьез воображать себе то, что очевидным образом противо­речит известным законам природы. Так что наш род воображе­ния — весьма трудная игра. Надо иметь достаточно воображения, чтобы думать о чем-то никогда прежде не виденном, никогда прежде не слышанном. В то же время приходится, так сказать, надевать на мысли смирительную рубашку, ограничи­вать их условиями, вытекающими из наших знаний о том, ка­кому пути на самом деле следует природа. Проблема создания чего-то, что является совершенно новым и в то же время со­гласуется со всем, что мы видели раньше,— проблема чрезвы­чайно трудная.

Но раз уж зашла об этом речь, я хочу остановиться на том, в состоянии ли мы себе представить красоту, которую мы не можем видеть. Это интересный вопрос. Когда мы глядим на радугу, она нам кажется прекрасной. Каждый, увидав ее, воск­ликнет: «О радуга!». (Смотрите, как научно я подхожу к во­просу. Я остерегаюсь именовать что-то восхитительным, пока нет экспериментального способа определить это.) Ну, а как мы описывали бы радугу, если бы были слепыми? А ведь мы слепы, когда измеряем коэффициент отражения инфракрасных лучей от хлористого натрия или когда говорим о частоте волн, при­шедших от некоторой невидимой глазу галактики. Тогда мы чертим график, рисуем диаграмму. К примеру, для радуги по­добным графиком была бы зависимость интенсивности излуче­ния от длины волны, измеренная спектрофотометром под все­возможными углами к горизонту. Вообще говоря, подобные измерения должны были бы приводить к довольно пологим кривым. И вот в один прекрасный день кто-то обнаружил бы, что при какой-то определенной погоде, под некоторыми углами к горизонту спектр интенсивности как функция длины волны начал себя вести странно — у него появился пик. Если бы угол наклона прибора чуть-чуть изменился, максимум пика перешел бы от одной длины волны к другой. И вот через некоторое время в физическом журнале для слепых появилась бы техническая статья под названием «Интенсивность излучения как функция угла при некоторых метеоусловиях». В этой статье был бы график типа, показанного на фиг. 20.5. «Автор заметил,— го­ворилось бы, быть может, в статье,— что под большими углами основная часть радиации приходится на длинные волны, а под меньшими максимум излучения смещается к коротким волнам». (Ну, а мы бы сказали, что под углом 40° свет преиму­щественно зеленый, а под углом 42° — красный.)

Но находите ли вы график, приведенный на фиг. 20.5, вос­хитительным? В нем ведь содержится существенно больше раз­личных деталей, чем мы в состоянии постичь, когда видим ра­дугу: наши глаза не могут схватить доподлинную форму спектра. А вот глазам радуга все же кажется восхитительной. Хватает ли у вас воображения, чтобы в спектральных кривых увидеть всю ту красоту, которую мы видим, смотря на радугу? У меня — нет.

Фиг. 20.5. Зависимость интен­сивности электромагнитных волн от длины волны под тремя углами (отсчитываемыми от направления, противоположного направлению на Солнце).

Доступно наблюдению лишь в опре­деленных метеорологических усло­виях.

Но представим себе, что у меня имеется график зависи­мости коэффициента отражения кристаллов хлористого натрия от длины волны в инфракрасном участке спектра и от угла. Я могу вообразить себе, как это представилось бы моим глазам, обладай они способностью видеть в инфракрасном свете. Должно быть, это был бы какой-то яркий, насыщенный «зеленый цвет», на который накладывались бы отражения от поверхностей «ме­таллически-красных» тонов. Это выглядело бы поистине вели­колепно, но я не знаю, способен ли я, взглянув на график коэф­фициента отражения NaCl, снятый на каком-то приборе, ска­зать, что он столь же прелестен.

Но, с другой стороны, хоть мы и не можем видеть красоту тех или иных частных измерений, мы можем утверждать, что постигаем своеобразную красоту уравнений, описывающих всеобщие физические законы. Например, в волновом уравне­нии (20.9) очень красива та правильность, с какой в нем распо­ложены х, у, z и t. И эта приятная симметрия появления х, у, z, t намекает на ту величественную красоту, которая таится в четырех равнозначных координатах, в возможности того, что у пространства есть четырехмерная симметрия, в возможности проанализировать ее и развить специальную теорию относи­тельности. Так что существует еще интеллектуальная красота, ассоциируемая с уравнениями.

§ 4. Сферические волны

Мы видели, что существуют решения волнового уравнения, отвечающие плоским волнам, и что любая электромагнитная волна может быть описана как суперпозиция многих плоских волн. В определенных случаях, однако, удобнее описывать волновое поле в другой математической форме. Я хотел бы сей­час разобрать теорию сферических волн — волн, которые соот­ветствуют сферическим поверхностям, расходящимся из неко­торого центра. Когда вы бросаете камень в пруд, то по водной глади побежит рябь в виде круговых волн — это двумерные волны. Сферические волны похожи на них, только распростра­няются они во всех трех измерениях.

Прежде чем начать описание сферических волн, немного зай­мемся математикой. Пусть имеется функция, зависящая только от радиального расстояния r точки от начала координат, иными словами, сферически симметричная функция. Обозначим ее ш(r), где под rподразумевается

т. е. расстояние от начала координат. Чтобы узнать, какие функ­ции ш (r) удовлетворяют волновому уравнению, нам понадо­бится выражение для лапласиана ш. Значит, нам нужно найти сумму вторых производных ш по х, по у и по z. Через ш'(r) мы обозначим первую производную i|) по r, а через ш"(r) — вторую. Сначала найдем производные по х. Первая производная равна