Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фиг. 38.1. Растяжение бруска под действием однородной нагрузки.

Если мы потянем за его конец с силой F, то его длина увеличится на Dl. Во всех случаях мы будем предполагать, что изменение длины составляет малую долю от первоначальной. На самом деле материалы, подобные стали или дереву, разрушаются еще до того, как изменение длины достигнет нескольких процентов от первоначального значения. Опыты показывают, что для большого числа мате­риалов при достаточно малых удлинениях сила пропорцио­нальна удлинению

F~Dl. (38.1)

Это соотношение известно как закон Гука.

Удлинение бруска Dl зависит и от его длины. Это можно про­демонстрировать следующими рассуждениями. Если мы скре­пим вместе два одинаковых бруска конец к концу, то на каж­дый будет действовать одна и та же сила и каждый из них удли­нится на Dl. Таким образом, удлинение бруска длиной 2l бу­дет в два раза больше удлинения бруска того же поперечного сечения, но длиной l. Чтобы получить величину, полнее харак­теризующую сам материал и менее зависящую от формы образ­ца, будем оперировать отношением Dl/l (удлинение к перво­начальной длине). Это отношение пропорционально силе, но не зависит от l:

F~Dl/l(38.2)

Сила F зависит также от площади сечения бруска. Предпо­ложим, что мы поставили два бруска бок о бок. Тогда для дан­ного удлинения Dl мы должны приложить силу F к каждому бруску, или для комбинации двух брусков требуется вдвое большая сила. При данной величине растяжения сила должна быть пропорциональна площади поперечного сечения бруска А. Чтобы получить закон, в котором коэффициент пропорциональ­ности не зависит от размеров тела, мы для прямоугольного бруска будем писать закон Гука в виде

F=YA(Dl/l) (38.3)

Постоянная Y определяется только свойствами природы ма­териала; ее называют модулем Юнга. (Обычно модуль Юнга обозначается буквой Е, но эту букву мы уже использовали для электрического поля, для энергии и для э. д. с., так что теперь лучше взять другую.)

Силу, действующую на единичной площади, называют на­пряжением, а удлинение участка, отнесенное к его длине, т. е. относительное удлинение называют деформацией. Уравне­ние (38.3) можно переписать следующим образом;

F/A =YXDl/l. (38.4)

Напряжение=(Модуль Юнга)X(Деформация).

При растяжении, подчиняющемуся закону Гука, возникает еще одно осложнение: если брусок материала растягивается в одном направлении, то под прямым углом к растяжению он сжимается. Уменьшение толщины пропорционально самой толщине w и еще отношению Dl/l. Относительное боковое сжатие одинаково как для ширины, так и для его высоты и обычно за­писывается в виде

где постоянная s характеризует новое свойство материала и называется отношением Пуассона. Это число положительное до знаку, по величине меньше ¹/₂. (То, что постоянная о в об­щем случае должна быть положительной, «разумно», но ниотку­да не следует, что она должна быть такой.)

Две константы Y и s полностью определяют упругие свой­ства однородного изотропного (т. е. некристаллического) мате­риала. В кристаллическом материале растяжение и сокращение в разных направлениях может быть различным, поэтому и упру­гих постоянных может быть гораздо больше. Временно мы ог­раничим наши обсуждения однородными изотропными материа­лами, свойства которых могут быть описаны постоянными s и Y. Как обычно, существует множество способов описания свойств.

Некоторым, например, нравится описывать упругие свойст­ва материалов другими постоянными. Но таких постоянных всегда берется две, и они могут быть связаны с нашими s и Y.

Последний общий закон, который нам нужен,— это принцип суперпозиции. Поскольку оба закона (38.4) и (38.5) линейны в отношении сил и перемещений, то принцип суперпозиция будет работать. Если при одном наборе сил вы получаете неко­торое дополнительное перемещение, то результирующее пере­мещение будет суммой перемещений, которые бы получились при независимом действии этих наборов сил.

Теперь мы имеем все необходимые общие принципы: прин­цип суперпозиции и уравнения (38.4) и (38.5), т. е. все, что нуж­но для описания упругости. Впрочем, с таким же правом можно было заявить: у нас есть законы Ньютона, и это все, что нужно для механики. Или, задавшись уравнениями Максвелла, мы имеем все необходимое для описания электричества. Оно, ко­нечно, так; из этих принципов вы действительно можете полу­чить почти все, ибо ваши теперешние математические возмож­ности позволяют вам продвинуться достаточно далеко. Но мы все же рассмотрим лишь некоторые специальные приложения.

§ 2. Однородная деформация

В качестве первого примера посмотрим, что происходит с пря­моугольным бруском при однородном гидростатическом сжатии. Давайте поместим брусок в резервуар с водой. При этом воз­никнет сила, действующая на каждую грань бруска и пропор­циональная его площади (фиг. 38.2).

Фиг. 38.2. Брусок под действием равномерного гидростатического давления.

Поскольку гидростатиче­ское давление однородно, то напряжение (сила на единичную площадь) на каждой грани бруска будет одним и тем же. Прежде всего найдем изменение длины бруска. Его можно рассматри­вать как сумму изменений длин, которые происходили бы в трех независимых задачах, изображенных на фиг. 38.3.

Фиг. 38.3. Гидростатическое давление равно суперпозиции трех сжатий.

Задача 1. Если мы приложим к концам бруска давление р, то деформация сжатия будет отрицательна и равна p/Y:

Задача 2. Если мы надавим на горизонтальные грани бруска, то деформация по высоте будет равна -p/Y, а соответствующая деформация в бо­ковом направлении будет +sp/Y. Мы получаем

Задача 3. Если мы прило­жим к сторонам бруска дав­ление р, то деформация дав­ления снова будет равна p/Y, но теперь нам нужно определить деформацию длины. Для этого боковую деформа­цию нужно умножить на -s. Боковая деформация равна

так что

Комбинируя результаты этих трех задач, т. е. записывая Dl как dl₁+Dl₂+Dl₃, получаем