Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

На фиг. 38.9, а показан цилиндрический стержень, облада­ющий длиной L и радиусом а, один из концов которого закручен на угол j по отношению к другому.

Фиг. 38.9. Кручение цилиндрического стержня (а), кручение цилин­дрического слоя (б) и сдвиг любого маленького кусочка в слое (в).

Если мы хотим связать де­формацию с тем, что уже известно, то стержень можно предста­вить состоящим из множества цилиндрических оболочек и выяснить, что происходит в каждой из этих оболочек. Начнем с рассмотрения тонкого короткого цилиндра радиусом r(мень­шего, чем в) и толщиной Dr, как показано на фиг. 38.9, б. Если теперь посмотреть на кусочек внутри этого цилиндра, который первоначально был маленьким квадратом, то можно заметить, что он превратился в параллелограмм. Каждый элемент ци­линдра сдвигается, а угол сдвига q равен

q=rj/L.

Поэтому напряжение сдвига g в материале будет [из уравне­ния (38.13)]

Напряжение среза равно тангенциальной силе DF, дейст­вующей на конец квадратика, поделенной на его площадь Dl/Dr (см. фиг. 38.9, б):

g=DF/DlDr.

Сила DF, действующая на конец такого квадратика, создает относительно оси стержня момент сил Dt, равный

Dt=rDF=rgDlDr. (38.22)

Полный момент t равен сумме таких моментов по всему периметру цилиндра. Складывая достаточное число таких кусков так, чтобы все Dl составляли 2pr, находим, что полный момент сил для пустотелой трубы равен

гg(2pr)Dr. (38.23)

Или, используя уравнение (38.21),

Мы получили, что жесткость t/j пустотелой трубы по отноше­нию к кручению пропорциональна кубу радиуса r и толщине Dr и обратно пропорциональна его длине L.

Теперь представьте себе, что стержень сделан из целой се­рии таких концентрических труб, каждая из которых закруче­на на угол j (хотя внутренние напряжения в каждой трубе раз­личны). Полный момент равен сумме моментов, требуемых для скручивания каждой оболочки, так что для твердого стержня

где интеграл берется от 0 до а — радиуса стержня. После ин­тегрирования получаем

Если закручивать стержень, то его момент оказывается про­порциональным углу и четвертой степени диаметра: стержень вдвое большего радиуса в шестнадцать раз жестче относительно кручения.

Прежде чем расстаться с кручением, рассмотрим применение теории к одной интересной задаче — волнам кручения. Возьмем длинный стержень и неожиданно закрутим один его конец; вдоль стержня, как показано на фиг. 38.10, а, пойдет волна кручения.

Фиг. 38.10. Волна кручения в стержне (а) и элемент объема стержня (б).

Это явление более интересно, нежели простое стати­ческое скручивание. Посмотрим, можем ли мы понять, как это происходит.

Пусть z — расстояние от некоторой точки до основания стержня. Для статического закручивания момент сил на всем протяжении стержня один и тот же и пропорционален j/L — полному углу вращения на полную длину. Но в нашей задаче важна местная деформация кручения, которая, как вы сразу поймете, равна дj/дz. Если кручение вдоль стержня неравно­мерное, то уравнение (38.25) следует заменить таким:

Посмотрим теперь, что же происходит с элементом длины Dz, который показан в увеличенном масштабе на фиг. 38.10, б. На конце 1 маленького отрезка стержня действует момент t(z), а на конце 2— другой момент сил t(z+Dz). Если величина Dz достаточно мала, то можно воспользоваться разложением в ряд Тэйлора и, сохранив только два члена, написать

Полный момент сил Dt, действующий на маленький от­резок стержня между z и Dz, равен разности t(z) и

t(z+Dz),

или

Dt=(дt/дz)Dz.

Дифференцируя уравнение (38.26), получаем

Действие этого полного момента должно вызвать угловое ускорение отрезка стержня. Масса его равна

где r — плотность материала. В гл. 19 (вып. 2) мы нашли, что момент инерции кругового цилиндра равен mr²/2; обо­значая момент инерции нашего отрезка через Dl, получаем

Закон Ньютона говорит нам, что момент силы равен произ­ведению момента инерции на угловое ускорение, или

Собирая теперь все воедино, находим

или

Вы, должно быть, уже узнали, что это такое: это одномерное волновое уравнение. Мы получили, что волны кручения распространяются по стержню со скоростью

Чем плотнее стержень при одной и той же жесткости, тем мед­леннее движется волна, а чем он жестче, тем волна бежит бы­стрее. Скорость ее не зависит от диаметра стержня.

Волны кручения представляют частный случай волн сдвига. Волны сдвига в общем случае — это такие волны, при которых деформация не изменяет объема любой части материала. В вол­нах кручения мы сталкиваемся с особым распределением нап­ряжений сдвига — они распределены по кругу. Но волны при любом распределении напряжений сдвига будут распростра­няться с одной и той же скоростью, которая определяется фор­мулой (38.32). Сейсмологи, например, обнаружили, что такие волны сдвига распространяются и внутри Земли.

В мире упругих явлений возможен и другой сорт волн внут­ри твердого материала. Если вы толкнете что-нибудь, то можете возбудить «продольные» волны, так называемые волны «сжа­тия». Они подобны звуковым волнам в воздухе или в воде, т. е. перемещение вещества в них происходит в ту же сторону, что и распространение волны. (На поверхности упругого тела мо­гут распространяться и другие типы волн, называемые «вол­нами Рэлея». Деформация в них ни продольная, ни поперечная. Однако у нас нет времени говорить о них подробно.)

Раз уж мы коснулись вопроса о волнах, то какова скорость волн чистого сжатия в большом твердом теле, подобном Земле? Я сказал в «большом», ибо скорость звука в массивном теле отлична от скорости, свойственной, скажем, тонкому стерж­ню. Под массивным телом я подразумеваю тело, поперечные раз­меры которого много больше длины волны звука. Поэтому, нажимая на такой объект, можно обнаружить, что он не «раз­дается» в стороны — он может сжиматься только в одном нап­равлении. К счастью, однако, мы уже разобрали специаль­ный случай сжатия «сдавленного» упругого материала, а в гл. 47 (вып. 4) мы познакомились еще со скоростью звука в газе. Рас­суждая так же, как и выше, вы можете убедиться, что скорость звука в твердом теле равна Ц(Y'/r), где Y' — «продольный мо­дуль», т. е. давление, деленное на относительное изменение длины (для случая «сдавленного» стержня). Равно это просто отношению Dl/l к F/A, полученному нами в уравнении (38.20). Таким образом, скорость продольных волн определяется выра­жением