Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

§ 5. Продольный изгиб

Теперь воспользуемся нашей теорией, чтобы понять, что про­исходит при продольном изгибе бруска, опоры или стержня. Рассмотрим то, что изображено на фиг. 38.16.

Фиг. 38.16. Продольно изогну­тая балка.

Здесь стержень, обычно прямой, удерживается в согнутом виде двумя проти­воположными силами, давящими на его концы. Найдем форму стержня и величину сил, действующих на концы.

Пусть отклонение стержня от прямой линии между концами будет у(х), где х — расстояние от одного конца. Изгибающий момент

в точке Р на рисунке равен силе F, умноженной на плечо, перпендикулярное направлению у:

Воспользовавшись выражением для момента (38.36), имеем

При малых отклонениях можно считать 1/R=-d²y/dx²(от­рицательный знак выбран потому, что кривизна направлена вниз). Отсюда

т. е. появилось дифференциальное уравнение для синуса. Таким образом, для малых отклонений кривая такого про­дольно изогнутого стержня представляет синусоиду. «Длина волны» l. этой синусоиды в два раза больше расстояния L между концами. Если изгиб невелик, она просто равна уд­военной длине неизогнутого стержня. Таким образом, получается кривая

Беря вторую производную, находим

Сравнивая это с (38.45), видим, что сила равна

Для малого продольного изгиба сила не зависит от перемеще­ния у!

Физически же получается вот что. Если сила F меньше опре­деляемой уравнением (38.46), то никакого продольного изгиба не происходит. Но если она хоть немного больше этой силы, то балка внезапно и очень сильно согнется, т. е. под действием сил, превышающих критическую величину p²YI/L²(часто назы­ваемую «силой Эйлера»), балка будет «гнуться». Если на вто­ром этаже здания разместить такой груз, что нагрузка на под­держивающие колонны превысит силу Эйлера, то здание рух­нет. Другая область, где очень важны продольно изгибающие силы,— это космические ракеты. С одной стороны, ракета дол­жна выдерживать свой вес на стартовой площадке и вынести напряжения во время ускорения, а с другой — очень важно свести вес всей конструкции до минимума, чтобы полезная на­грузка и полезная мощность двигателей были как можно больше.

Фактически превышение силы Эйлера вовсе не означает, что после этого балка полностью разрушится. Когда отклонение ста­новится большим, сила благодаря члену (dz/dx)²в уравнении (38.38), которым мы пренебрегли, будет на самом деле больше вычисленной. Чтобы найти силы при большом продольном изги­бании стержня, мы должны вернуться к точному уравнению (38.44), которое получалось до использования приближенной связи между R и y.

Уравнение (38.44) имеет довольно простые геометрические свойства. Решается оно немного сложнее, но зато гораздо интереснее. Вмес­то того чтобы описывать кривую через х и у, можно воспользовать­ся двумя новыми переменными:

S — расстоянием вдоль кривой и

q— наклоном касательной к кри­вой (фиг. 38.17.)

Фиг. 38.17. Координа­ты кривой продольно изогнутой балки S и q.

Тогда кривизна будет равна скорости изменения угла с расстоянием

Поэтому точное уравнение (38.44) можно записать в виде

После взятия производной этого уравнения по S и замены dy/dS на sinq получим

[Если углы q малы, то мы снова приходим к уравнению (38.45), стало быть здесь все в порядке.

Не знаю, можете ли вы еще удивляться, но уравнение (38.47) получилось в точности таким же, как и для колебаний маятника с большой амплитудой (разумеется, с заменой F/YI другой постоянной). Еще раньше, в гл. 9 (вып. 1), мы узнали, как нахо­дить решение такого уравнения численным методом. В ответе вы получите очаровательную кривую. На фиг. 38.18 показаны три кривые для разных значений постоянной F/YI.

* Кстати, точно такое же уравнение возникает и в других физических ситуациях: например, в мениске на поверхности жидкости, заключенной между двумя параллельными стенками, а поэтому можно воспользоваться тем же самым геометрическим рассмотрением.

* Решение его можно выразить также через особые функции, называе­мые «эллиптическими функциями Якоби», которые когда-то раз навсегда были вычислены и протабулированы.

* Это и есть момент инерции пластинки единичной плотности и с единичной площадью сечения

Глава 39 УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ

§ 1. Тензор деформации

§ 2. Тензор упругости

§ З. Движения в упругом теле

§ 4. Неупругое поведение

§ 5. Вычисление упругих постоянных

§ 1. Тензор деформации

В предыдущей главе мы говорили о возму­щениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформа­ции в большом куске желе, скрученном и сжа­том каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сде­лать, задав в ней набор шести чисел — компо­нент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.

Предположим, что мы взяли недеформиро­ванный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятныш­ка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение г=(x, у, z), передвигается в новую точку Р', т. е. в положение r'=(х', у', z'), как это показано на фиг. 39.1.

Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Р недеформированного кубика после деформации пере­мещается в точку Р'.