Фейнмановские лекции по гравитации

Ободрённый этой аналогией, Фейнман рассматривает квантовую теорию гравитации ”просто как другую квантовую теорию поля”, такую как квантовая электродинамика. Так, в лекциях 1 - 6 он задаёт вопрос: можем ли мы найти разумную квантовую теорию поля, описывающую безмассовые кванты со спином 2 (гравитоны), взаимодействующие с веществом в обычном плоском пространстве-времени Минковского? Классический предел такой квантовой теории должен был бы определяться уравнением поля эйнштейновской теории относительности. Поэтому, для того, чтобы убедиться в виде классической теории, Фейнман привлекает внимание к характерные особенности квантовой теории, которые должны лежать в основании теории. Геометрические идеи проникают в обсуждение Фейнмана только через ”чёрный вход” и развиваются первоначально как технические средства для того, чтобы помочь в построении приемлемой теории. Так, например, тензор кривизны (Римана), являющийся узловым пунктом общепринятой формулировки общей теории относительности, вводится Фейнманом первоначально (6.4) только как средство для построения членов в гравитационном действии, удовлетворяющем требуемым свойствам инвариантности. Действительно, только в лекции 9 (разделе 9.3) лекций Фейнман показывает, что кривизна имеет интерпретацию через параллельный перенос касательного вектора по искривлённому пространственно-временному многообразию.

Критической особенностью квантовой теории является то, что безмассовый гравитон со спином 2 имеет только два состояния спиральности. Таким образом, классическое гравитационное поле также должно иметь только две динамические степени свободы. Тем не менее, классическое гравитационное поле, которое соответствует частице со спином 2, является симметричным тензором h с десятью компонентами. На самом деле, четыре из этих компонент h₀₀, h_0i (при i = 1,2,3) являются нединамическими связанными переменными, так что у нас остаётся только шесть динамических компонент h_ij для того, чтобы описать состояния с двумя физическими спиральностями. Из-за того, что есть несоответствие между числом состояний частицы и числом полевых компонентов, следует, что квантовая теория поля и отсюда также и соответствующая классическая теория являются в большой степени теориями со связями.

Для того, чтобы разрешить это несоответствие, необходимо включить в теорию избыточность так, чтобы многие различные классические полевые конфигурации описывали одно и то же физическое состояние. Другими словами, это должна быть калибровочная теория. Для безмассового поля спина 2 может быть показано, что необходимый калибровочный принцип является условием общей ковариантности, что приводит к эйнштейновской теории.

В лекции 3 Фейнман построил квадратичное действие безмассового поля спина 2, которое линейным образом связано с сохраняющимся тензором энергии-импульса. Он объясняет калибровочную инвариантность результирующего линейного полевого уравнения в разделе 3.7 и даёт комментарий в разделе 4.5 о том, что можно сделать вывод о нелинейном самовзаимодействии поля, основываясь на требовании калибровочной инвариантности амплитуд рассеяния. Но Фейнман не доводит эту программу до конца. (Он только замечает, что это довольно трудно было бы сделать.) Вместо этого, он использует довольно отличный от этого подхода метод для того, чтобы получить эйнштейновское нелинейное классическое полевое уравнение, метод, основное внимание в котором сосредоточено на непротиворечивости. Так как линейное полевое уравнение для свободного безмассового поля со спином 2 с необходимостью имеет калибровочную инвариантность (для того, чтобы устранить ненужные состояния спиральности), общие модификации такого полевого уравнения (такие, как модификации, которые возникают тогда, когда поле спина 2 связано с материей) не допускают никаких решений. Новые члены в модифицированном уравнении должны удовлетворять нетривиальному условию непротиворечивости, которое существенным образом является требованием того, что новые члены удовлетворяют калибровочной симметрии. Это условие непротиворечивости оказывается достаточным при указании пути в направлении специфического эйнштейновского множества нелинейных связей и соответствующего нелинейного полевого уравнения.

Более подробно: задача, как она сформулирована в разделе 6.2, состоит в том, чтобы найти функционал действия, F[h] для поля спина 2 такого, что гравитационное полевое уравнение

F

h

=

T

(П.1)

согласуется с уравнением движения вещества. Здесь T есть тензор энергии-импульса вещества. В лекции 3 Фейнман находит квадратичное выражение для F, которое удовлетворяет согласованному линейному полевому уравнению до тех пор, пока сохраняется тензор энергии-импульса вещества (для случая специальной теории относительности) T_,. Беспокойство возникает тогда, когда поле h взаимодействует с веществом так, что вещество действует как источник h, уравнение движения вещества модифицируется гравитационными силами и величина T_, не оказывается более нулевой. Таким образом, полевое уравнение для h и уравнение движения вещества оказываются несовместными; эти уравнение не допускают одновременных решений. В этом состоит проблема непротиворечивости (линейной теории).

Используя требования того, что полевое уравнение удовлетворяется тензором h совместно с уравнением движения материи, Фейнман сделал вывод о том, что нелинейные поправки более высокого порядка должны быть добавлены к действию F. Требование непротиворечивости может быть облачено в форму принципа инвариантности, которому удовлетворяет действие, (с учётом этого принципа действие есть инвариант при общих координатных преобразованиях). После этого фейнмановский анализ стал довольно общепринятым и привёл к заключению о том, что достаточно общее согласованное полевое уравнение, которое включает в себя не более двух производных, есть уравнение Эйнштейна (с космологической постоянной).

Результирующие нелинейные поправки имеют приятную физическую интерпретацию. Без этих поправок гравитация не имеет связи сама с собой. Когда нелинейные поправки включаются в рассмотрение, источник для гравитационного поля (как он рассматривается в плоском пространстве-времени Минковского) есть полный тензор энергии-импульса, включающий вклад, обусловленный собственно гравитационным полем. Другими словами, удовлетворяется (сильный) принцип эквивалентности. Закон сохранения, удовлетворяемый энергией-импульсом вещества, становится эйнштейновским ковариантным законом, T_;=0, который в сущности допускает обмен энергией и импульсом между веществом и гравитацией.

Мы знаем из фейнмановских комментариев, сделанных в 1957 году на конференции в Чапел Хилл [DeWi 57], что уже тогда он работал над вычислениями, описанными в лекциях 2-6. Мюррей Гелл-Манн сообщал [Gell 89], что Фейнман и он обсуждали различные вопросы квантовой гравитации в течении рождественских каникул в 1954 - 55 годах, и что уже тогда Фейнман достиг ”значительного прогресса” в этой области.

Требование того, что единственная разумная теория взаимодействующего безмассового поля спина 2 является по существу общей теорией относительности (или хорошо аппроксимируется общей теорией относительности в низкоэнергетическом пределе), довольно часто высказывается и сегодня. (Например, доказывается, что так как теория суперструн содержит безмассовые частицы спина 2, это может быть теория гравитации). Фактически, Фейнман не был самым первым, кто высказал это требование.

Полевое уравнение для свободного безмассового поля спина 2 было выписано Фиртцем и Паули в 1939 году [FiPa 39]. С того времени идея рассмотрения эйнштейновской гравитации, как теории поля спина 2 в плоском пространстве, изредка встречалась в литературе. Тем не менее, насколько мы знаем, первая опубликованная попытка вывести нелинейные связи в теории Эйнштейна в рамках такого подхода появилась в работе Сурая Гупты в 1954 году [Gupt 54]. Гупта заметил, что действие в теории должно подчиняться нетривиальному условию непротиворечивости, которое удовлетворяется в общей теории относительности. Тем не менее, он не привёл никакого детального аргумента в пользу единственности полевого уравнения Эйнштейна.

Грубо говоря, аргумент Гупты состоит в следующем. Мы хотим построить теорию, в которой ”источник”, связанный с безмассовым полем спина 2, есть тензор энергии-импульса, включающий энергию-импульс самого поля спина 2. Если выбрать источник поля таким образом, что он есть тензор энергии-импульса ²T теории свободного поля (которая квадратична по h), то связь этого источника с тензором h приводит к появлению кубического члена в лагранжиане. Из этого кубического члена в лагранжиане может быть выведен соответствующий кубический член ³T в тензоре энергии-импульса, который тогда включается в источник. Этим порождается член четвёртого порядка ⁴T и так далее. Эта итерационная процедура порождает бесконечные ряды, которые могут быть просуммированы для того, чтобы получить полные нелинейные уравнения Эйнштейна. Гупта кратко описал эту процедуру, но на самом деле не довёл её до завершения. Первая полная (и особенно элегантная) версия была опубликована Дезером в 1970 году [Dese 70]. Дезер также заметил, что теория Янга-Миллса может быть выведена, исходя из подобного подхода.

За несколько лет до работы Гупты, Роберт Крайчман, тогда 18-летний студент Массачусетского Технологического Института, также изучал проблемы вывода общей теории относительности как непротиворечивой теории безмассового поля спина 2 в плоском пространстве. Он описал свои результаты в неопубликованной диссертации на степень бакалавра [Krai 47]. Крайчман продолжил исследования по этой проблеме в Институте Перспективных Исследований в 1949 - 1950 годах. Он вспоминает, что хотя он и получил некоторое одобрение от Брайса Де Витта, очень немногие из его коллег поддерживали его усилия. Эта группа определённо включала в себя самого Эйнштейна, который пришёл в ужас от такого подхода к гравитации, отвергавшего его собственное геометрическое понимание, полученное им в результате огромной проделанной работы. Крайчман не публиковал никакие из своих результатов до 1955 года [Krai 55, Krai 56], когда он наконец нашёл вывод, который его удовлетворил. В отличие от Гупты, Крайчман не предполагал, что гравитация взаимодействует с полным тензором энергии-импульса. Скорее всего он, как и Фейнман, выводил свой результат как следствие непротиворечивости полевых уравнений. Кажется вероятным, что Фейнман совершенно ничего не знал о работах Гупты и Крайчмана.

Мы должны были бы указать на то, что анализ Фейнмана весьма далёк от наиболее общего анализа, который можно было бы провести (анализ Фейнмана является существенно менее общим, чем анализ Крайчмана). Фейнман предполагал некоторый частный вид для действия вещества (которое соответствует действию для релятивистской частицы) и далее предполагал строго линейную связь поля вещества спина 2 (которая была бы невозможна для более общего действия для материи). В частности, отметим, что все физические предсказания теории не меняются, если проводится нелинейное локальное переопределение поля спина 2; мы вольны сделать замену h(x) на h(h(x))=h(x)+O(h(x)^2). Фейнман косвенным образом устранил эту свободу для того, чтобы делать подобные переопределения исходя из требования, что взаимодействие с материей должно быть линейно по h. (Полевые переопределения рассматривались детально Боулваром и Дезером [BoDe 75].) Значительно более общий анализ условия непротиворечивости для полевого уравнения проводился позднее Волдом [Wald 86] и привёл его в конце концов к заключениям, аналогичным тем, к которым пришли Крайчман и Фейнман.