Физика пространства - времени
Шрифт:
Интервал
собственной
длины
^2
=-
Интервал
собственного
времени
^2
=
=
Удалённость
в пространстве
^2
–
Удалённость
во времени
^2
=
=
(
x)^2
–
(
t)^2
=
=
(
x'
ch
r
+
t'
sh
r
)^2
–
(
x'
sh
r
+
t'
cos
r
)^2
=
=
(
x')^2
ch^2
r
+
2(
x')(
y')ch
r
sh
r
+
(
t')^2
sh^2
r
–
– [
(
x')^2
sh^2
r
–
2(
x')(
y')sh
r
ch
r
+
(
t')^2
ch^2
r
]=
=
[(
x')^2
–
(
t')^2]
·
(ch^2
r
–
sh^2
r
)
=
=
(
x')^2
–
(
t')^2
.
Так
Обратное преобразование Лоренца
Как мы уже вполне убедились, преобразование Лоренца служит для перевода информации с языка системы координат ракеты (x', t') на язык лабораторной системы координат (x, t). Кроме того, этот «словарь» во всех отношениях согласуется с универсальным языком интервалов (непротиворечивость ковариантного и инвариантного описаний в физике пространства-времени). Но мы нуждаемся в большем — ведь турецко-английский словарь можно купить в одном переплёте с англо-турецким. Так где же этот второй «словарь теории относительности»? Как совершить обратный переход от x и t к x' и t'? Если первый словарь соответствовал формулам
x
=
x'ch
r
+
t'sh
r
,
t
=
x'sh
r
+
t'ch
r
,
(36)
то какие формулы будут служить для обратного перехода от лабораторных к ракетным данным? Ответ: преобразование Лоренца, обратное преобразованию (36), задаётся формулами
x'
=
xch
r
–
tsh
r
,
t'
=-
xsh
r
–
tch
r
.
(37)
Доказательство. Подставьте последние выражения для x' и t' в формулы (36) и покажите, что получаются тождества (т.е. если перевести английское слово на турецкий язык, а затем снова на английский, то мы снова придём к исходному слову, если только каждый из словарей действительно является обратным по отношению к другому!).
В
табл. 8 формальные определения гиперболических функций и некоторые соотношения для них записаны параллельно аналогичным определениям и соотношениям для тригонометрических функций. Здесь через e обозначено основание натуральных логарифмов, численно равное 2,718281…, а через i обозначен квадратный корень из минус единицы (мнимая единица), так что i^2=-1. Обычные правила сложения и умножения экспонент справедливы и для экспонент, содержащих i. Угол берётся в обычных или гиперболических радианах, но не в градусах. Выражения типа 4! обозначают факториал; так, «четыре факториал» =4!=4x3x2x1=24. Чтобы разобраться в этих соотношениях, получите равенства 7—13 из определений 1—6 на обеих сторонах таблицы и качественно покажите, как из них вытекают графики на рис. 32 и 33. Особо отметьте различия в знаках в левой и правой сторонах таблицы.Таблица 8.
Тригонометрические и гиперболические функции
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
1.
sin
=
ei– e– i
2i
1.
sh
=
e– e–
2
2.
cos
=
ei+e– i
2i
2.
ch
=
e+e–
2
3.
tg
=
sin
cos
3.
th
=
sh
ch
4.
sin
=
–
^3
3!
+
5!
–
7!
+…
4.
sh
=
+
^3
3!
+
5!
+
7!
+…
5.
cos
=
1
–
^2
2!
+
4!
–
6!
+…
5.
ch
=
1
+
^2
2!
+
4!
+
6!
+…
6.
tg
=
+
^3
3
+
2
15
+…
6.
th
=
–
^3
3
+
2
15
– …
СООТНОШЕНИЯ
7.
sin(-)
=-
sin
7.
sh(-)
=-
sh
8.
cos(-)
=
cos
8.
ch(-)
=
ch
9.