Физика пространства - времени
Шрифт:
+
t'
1-r^2
,
(16)
где r— скорость системы отсчёта ракеты относительно лабораторной системы отсчёта. Ввиду выполнения этого закона говорят, что координаты обеспечивают ковариантное описание взаимной удалённости событий в пространстве-времени в противоположность инвариантному описанию этой удалённости, обеспечиваемому интервалом. Корень «вари» в слове ковариантный»
Определение
указывает, что координаты изменяются (варьируют) при переходах от одной системы отсчёта к другой. Приставка «ко» означает, что преобразование координат всех событий производится по одному и тому же закону (координированно). Итак, для разных событий различны как координаты x' и t', так и координаты x и t, но четвёрка коэффициентов
1-
r
^2
– 1/2
,
r
·
1-
r
^2
– 1/2
,
r
·
1-
r
^2
– 1/2
,
1-
r
^2
– 1/2
,
связывающая эти два набора координат, обладает значениями, не зависящими от того, какое событие рассматривается.
В этом разделе мы будем обсуждать вывод формул преобразования Лоренца, их использование и их сходство с известными формулами преобразований эвклидовой геометрии, иллюстрируемыми на примере притчи о землемерах.
Три принципа, на которых основано преобразование Лоренца
Вывод преобразования Лоренца основывается на трех принципах, которые мы уже можем сформулировать:
1) Коэффициенты преобразования не должны зависеть от того, какое событие рассматривается («ковариантность преобразования»).
2) Выбор коэффициентов преобразования должен соответствовать тому, что точка, фиксированная в системе отсчета ракеты, движется в лабораторной системе отсчета со скоростью r в положительном направлении оси x.
3) Коэффициенты преобразования должны быть такими, чтобы любой интервал имел одно и то же значение в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты.
Эти три принципа легко применить к случаю распада -мезона. В лабораторной системе отсчета это событие имеет координаты (x,t) относительно события — рождения мезона, и эти координаты должны быть выражены через скорость r системы отсчета ракеты, в которой -мезон покоится. Эту скорость непосредственно даёт отношение координат x и t,
x
t
=
r
,
так что
x
=
r
t
,
или
x^2
=
r
^2
·
t^2
.
(17)
Первый этап вывода преобразования Лоренца
Временноподобный интервал, образованный x и t, определяется временем жизни -мезона в системе отсчёта ракеты (где мезон покоится в точке x'=0):
t^2-x^2
=
t'^2-x'^2
=
t'^2-0
=
^2
.
Подставим
в эту формулу r^2t^2 вместо x^2 на основании уравнения (17). Получимt^2
–
r
^2t^2
=
t'^2
=
^2
,
или
t^2
=
t^2
1-r^2
=
^2
1-r^2
,
или
t
=
t'
1-r^2
=
1-r^2
.
(Численный пример: положим r=^1^2/ скорости света; тогда 1-r^2=1-^1/=^2/ и (1-^2)^1/^2=^1^3/=2,6. Следовательно, время жизни -мезона, измеренное в лаборатории, в 2,6 раза длиннее «собственного времени жизни», т.е. оно в 2,6 раза длиннее, чем время жизни, измеренное в системе отсчёта, связанной с самим мезоном). Расстояние, пройденное -мезоном, равно времени движения, умноженному на скорость, так что
x
=
r
t
=
rt'
1-r^2
.
Решение задачи о -мезоне
Этим расчётом завершается решение поставленной задачи (найти координаты мировой точки распада -мезона относительно мировой точки его рождения в лабораторной системе координат).
Задача о -мезоне служила введением к общей задаче — найти координаты данного события в лабораторной системе, если заданы его координаты в системе ракеты. Если мы покажем, что эта задача равнозначна выводу формул преобразования Лоренца, значит, мы пришли к методу вывода этого преобразования, исходя из простейших предположений. На самом деле, мы уже нашли два коэффициента из четырёх в формулах преобразования Лоренца:
t
=
r
t
=
t'
1-r^2
+
Ax'
,
x
=
r
t
=
rt'
1-r^2
+
Bx'
.
Что касается остальных двух коэффициентов, временно обозначенных через A и B, то о них мы ничего не узнали просто потому, что -мезон всё время покоился в точке x'=0 в системе ракеты. Благодаря этому коэффициенты A и B могли иметь любые конечные значения при одном и том же решении
Конечный этап вывода преобразования Лоренца
задачи о мезоне. Чтобы найти значения этих коэффициентов, мы перейдём от специального случая (события — распада E) к более общему случаю — событию, происходящему в точке с произвольными координатами x' и t'. Мы вновь потребуем, чтобы величина интервала была одинаковой в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты. Другими словами, потребуем выполнения равенства
t^2-x^2
=
t'^2-x'^2