Физика пространства - времени
Шрифт:
(
x)^2
+
(
y)^2
=
(
x')^2
+
(
y')^2
,
или
S
r
^2
(
y)^2
+
(
y)^2
=
0
+
(
y')^2
,
или
(
y)^2
=
(y')^2
1+Sr^2
,
или, наконец,
y
=
y'
1+Sr^2
,
так что
x
=
S
r
y
=
Sry'
1+Sr^2
.
Сравнивая
4. Аналогично рассмотрим вектор, направленный вдоль оси x' и имеющий компоненты (x',0). Его компоненты вдоль осей y и x находятся друг к другу в отношении
y
x
=-
S
r
.
Это равенство вместе с фактом инвариантности длины
(
x)^2
+
(
y)^2
=
(
x')^2
+
0
приводит в ходе рассуждений, аналогичных предыдущим, к соотношениям
x
=
x'
1+Sr^2
,
y
=-
Srx'
1+Sr^2
.
Тем самым мы проверили остальные два коэффициента в формулах (19) эвклидова преобразования поворота.
Относительный наклон осей Sr в геометрии Эвклида аналогичен относительной скорости r в геометрии Лоренца
Подводя итоги, можно сказать, что ковариантное преобразование в геометрии Эвклида от (x',y') к (x,y) с очевидностью аналогично преобразованию от (x',t') к (x,t) в лоренцевой геометрии реального физического мира. Величина наклона Sr осей одной системы координат относительно соответствующих осей другой системы аналогична скорости r одной инерциальной системы отсчёта относительно другой. Отношения катетов прямоугольного треугольника к его гипотенузе в эвклидовой геометрии
1
1+Sr^2
и
Sr
1+Sr^2
заменяются в лоренцевой геометрии выражениями
1
1-r^2
и
r
1-r^2
.
Противоположны лишь знаки при Sr и r в знаменателях этих выражений. Знак «минус» в лоренцевой геометрии связан с минусом в выражении для квадрата интервала.
9. ПАРАМЕТР СКОРОСТИ
Аддитивность углов подсказывает возможность определения аддитивного параметра скорости
Всё ли исчерпано? Мы выяснили, как перейти от компонент взаимной удалённости событий, известных в одной системе отсчёта, к аналогичным компонентам в другой системе отсчёта. Короче, мы записали ковариантный закон, связывающий компоненты в разных системах, как для преобразования Лоренца («преобразование в плоскости x, t), так и для поворота («преобразование в плоскости x, t). В первом случае формулы содержат параметр r (относительную скорость систем), а во втором — параметр Sr (относительный наклон осей). Однако ни один из этих параметров не позволяет
ещё получить самое простое описание взаимоотношения рассматриваемых систем координат. Было бы желательно заменить как r, так и Sr более естественными параметрами. Оказывается, найти такой более удобный способ описания движения и поворота систем можно. Лучшей характеристикой поворота является угол. Аналогично самой удобной характеристикой движения систем вместо скорости является некоторый параметр скорости , который ещё должен быть найден. Лучше всего можно понять смысл и значение этого параметра скорости при описании относительного движения систем отсчёта, если сначала выяснить, почему угол — более удобный параметр, чем наклон при описании поворота.Ответ таков: потому что углы аддитивны, а наклоны — нет. Что означает это утверждение? Взглянем на рис. 26. Вектор OA имеет наклон относительно оси y'. Этот наклон можно описать величиной S' (отношением числа единиц длины в направлении оси x, приходящегося на единицу расстояния в направлении оси y'). В данном случае мы имеем
S'
=
2
9
.
Вместе с тем вектор OA имеет наклон к оси y, равный
S
=
7
6
,
а ось y' в свою очередь обладает относительно оси y наклоном
S
r
=
3
4
.
Вопрос: выполняется ли следующий закон для наклонов:
Наклон OA
относительно
оси y
=
Наклон OA
относительно
оси y'
+
Наклон y'
относительно
оси y
?
Наклоны в эвклидовой геометрии не аддитивны
Проверка («экспериментальная математика»):
7
6
=
2
9
+
3
4
?
42
36
=
8
36
+
27
36
?
42
=
8
+
27
=
35
?!
Неверно!
Вывод: наклоны не аддитивны! Вопрос: раз наклоны не аддитивны, т.е. S не равняется сумме S' и Sr, то как же найти правильно наклон S из наклонов S' и Sr? Ответ:
(по определению наклона)
Наклон OA
относительно
оси y
=
S
=
x
y
=
[из (19)]
=
(1+Sr^2)^1/^2x'+Sr·(1+Sr^2)^1/^2y'
– Sr(1+Sr^2)^1/^2x'+(1+Sr^2)^1/^2y'
=
[сокращение числителя и
знаменателя на
(1+S
r
^2)^1
/
^2
]
=
x'+Sry'
– Srx'+y'