Физика пространства - времени
Шрифт:
=
(деление числителя и знаменателя на
y'
)
=
(x'/y')+Sr
– Sr(x'/y')+1
.
Окончательный вывод:
S
=
S'+Sr
1-S'Sr
.
(20)
Иными словами, наклоны S' и Sr могут считаться аддитивными, лишь если произведением S'•Sr стоящим в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с единицей.
Аддитивны
Рис. 28. Угол — удобная мера наклона оси y' относительно оси y. Удобство здесь в том. что углы подчиняются простому правилу сложения: ='+r.
Так как наклоны не аддитивны, а значит, неудобны для описания относительного поворота двух систем координат, то как же выбрать лучшую характеристику этого поворота? Ответ: взять угол между осями y и y'. Почему? Потому что углы подчиняются простому закону сложения (рис. 28):
Угол между
OA и осью y
=
Угол между
OA и осью y'
+
Угол между
осями y' и y
,
или
=
'
+
r
.
(21)
Благодаря выполнению этого соотношения угол является простейшей характеристикой наклона.
Как связаны между собой новая и старая характеристики наклона — угол и наклон Sr оси y' относительно оси y? Ответ:
S
r
=
tg
r
(22)
(по тригонометрическому определению функции тангенса; см. рис. 29).
Рис. 29. Связь между взаимным наклоном Sr осей y' и y двух эвклидовых систем координат и углом r между этими осями.
Закон сложения величин наклона в эвклидовой геометрии
Вопрос: как можно расшифровать закон сложения величин наклона, если исходить из того, что эти величины суть тангенсы углов? Ответ:
tg
=
tg ('+
r
)
=
аддитивность
углов
=
tg '+tg r
1-tg '•tg r
,
(тригонометрия)
(23)
или
S
=
S'+Sr
1-S'•Sr
•
тангенсы заменены
на величины наклонов
Сравнивая сложный закон сложения тангенсов (величин наклона) с простым законом сложения углов (='+r), мы убеждаемся в том, что угол — простейшая характеристика поворота.
Закон сложения скоростей
Рис. 30. Мировая линия пули, изображённая на диаграмме пространства-времени системы отсчёта
ракеты. Пуля была выпущена вперёд по движению ракеты со скоростью '=x'/t' в системе отсчёта ракеты.Что же будет простейшей характеристикой движения? Во всяком случае, не сама скорость, так как она не подчиняется простому закону сложения. Определим этот закон сложения скоростей. Пусть в системе отсчёта ракеты будет в направлении вперёд по её движению выстрелена пуля со скоростью ' в этой системе (рис. 30):
'
=
Число метров,
пройденных в
направлении оси x'
за каждый
Метр времени t',
прошедший
по часам
на ракете
=
x'
t'
.
Относительно лаборатории ракета движется со скоростью r. Чему равна скорость пули относительно лаборатории, измеренная по решётке часов лабораторной системы отсчёта? Ответ: эта скорость равна
=
Число метров,
пройденных в
направлении оси x
за каждый
Метр времени t,
прошедший
по часам
в лаборатории
=
x
t
=
[преобразование Лоренца; формулы (16)]
=
(1-r^2)^1/^2x'+r(1-r^2)^1/^2•t'
r(1-r^2)^1/^2x'+(1-r^2)^1/^2•t'
=
[в числителе и знаменателе произведено
сокращение на множитель
(1-
r
^2)^1
/
^2
]
=
x'+rt'
rx'+t'
=
числитель и знаменатель
разделены на
t'
)
=
(x'/t')+r
r(x'/t')+1
.
Окончательно
=
'+r
1+'r
(24)
(закон сложения скоростей). Иными словами, скорости не аддитивны. Лишь в предельном случае, когда скорости малы, две скорости ' и r могут рассматриваться как аддитивные (с определённой степенью точности), если в знаменателе закона (24) произведением 'r можно пренебречь по сравнению с единицей (с той же самой степенью точности, например 1:10 или 1:10). Пример неаддитивности скоростей: пусть в момент выстрела ракета обладает скоростью, равной 3/4 скорости света; пусть пуля движется относительно ракеты со скоростью, равной 3/4 скорости света. Чему будет равна скорость пули относительно лаборатории? Ответ: не 3/4 + 3/4 =1,5 скорости света, а
=
3/4 + 3/4
1+( 3/4 )•( 3/4 )
=
^3/
^2/
=
24
25
=
0,96
(в метрах лабораторного расстояния за метр светового времени по лабораторным часам). Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей (24) гарантирует, что никакой объект не может быть приведён в движение со скоростью света.
Определим параметр скорости таким образом, чтобы он был аддитивным!