Физика пространства - времени

t'

–

t

=

(

t)^2-(

x)^2

–

t

.

Обратимся теперь к вопросу о пригодности метода движущихся часов для процедуры синхронизации. Мистер Энгельсберг волен определять синхронизацию как ему будет угодно. Однако, используя метод движущихся часов для синхронизации Биг Бена и Литтл Бена, он натолкнётся на следующие трудности: 1) Время, которое будет поставлено на лабораторных часах при такой синхронизации, окажется зависящим от скорости движущихся часов. Возьмём, например, часы, летящие в десять раз быстрее, чем в разобранном выше случае. Тогда расхождение между Литтл Беном и соседними с ним часами решётки составит уже не 0,4, а 40 мсек. Два Литтл Бена, стоящие рядом друг с другом, будут показывать разное время, если их синхронизировать с Биг Беном с помощью разных часов (движущихся с различными скоростями)! 2) Даже если условиться всегда использовать движущиеся часы, летящие с некоторой данной скоростью, результат синхронизации при таком методе будет зависеть от пути движущихся часов. Чем длиннее будет путь, пройденный движущимися часами с постоянной скоростью, тем больше будут отставать часы Литтл Бен по сравнению с соседними часами решётки. 3) Если движущиеся часы вернутся к Биг Бену, совершив путешествие по замкнутому маршруту, они окажутся рассинхронизированными с Биг Беном по возвращении! (См. парадокс часов; упражнение 27). Метод синхронизации мистера Энгельсберга приводит и к другим неприятностям, но уже приведённых вполне достаточно, чтобы показать его непригодность для составления простого описания явлений, протекающих в пространстве-времени.

30. Конструкция часов и замедление их хода

При описании явления замедления времени (хода часов) в упражнении 10 мы не делали различия между пружинными часами, часами на кварцевом кристалле, биологическими часами (старение), атомными часами, радиоактивными часами или часами, в которых периодический процесс состоит в последовательном отражении светового импульса между двумя параллельными зеркалами. Предположим, что все эти часы отрегулированы таким образом, что идут совершенно одинаково, покоясь в системе отсчёта ракеты. Покажите, что явления замедления хода этих часов (упражнение 10) протекают совершенно одинаково, вне зависимости от их внутреннего механизма, когда они пролетают мимо стандартных часов, покоящихся в лабораторной системе отсчёта. (Обсуждение. Как получилось, что мы до сих пор ни разу не обратили внимания на конструкцию часов? Нужно ли в действительности вводить в рассмотрение какой-либо конкретный механизм часов, если рассматриваются световые сигналы, путешествующие взад и вперёд между часами в целях синхронизации? Требуется ли вообще что-либо ещё, кроме начальной световой вспышки (например, от электрической искры) и полупрозрачных посеребрённых зеркал, установленных в точках наблюдения (рис. 45), для того чтобы получить стандартные отрезки времени?)

Рис. 45. Измерение времени без помощи часов. Пунктирной прямой обозначена мировая линия полупрозрачного зеркала.

31. Инерциальные системы отсчёта, связанные с Землёй

Система отсчёта будет инерциальной в некоторой области пространства и времени, если первоначально покоившаяся пробная частица будет сохранять своё состояние покоя с некоторой данной степенью точности во всей этой области пространства-времени. Как было показано, свободно падающий вблизи Земли космический корабль эффективно является инерциальной системой отсчёта на протяжении периода времени в несколько секунд. Многие опыты, касающиеся быстро движущихся частиц и собственно света, проводятся в лабораториях, жёстко связанных с Землёй, а не находящихся в состоянии свободного падения! В таких связанных с Землёй лабораториях действует сила тяжести. Но тем не менее для проведения некоторых опытов требуется так мало времени, что пробная частица, высвобождаемая в начале опыта, не успевает до его конца пройти в своём падении сколько-нибудь значительный путь. Поэтому для многих экспериментальных целей жёстко связанная с Землёй лаборатория с достаточной степенью точности может быть принята за инерциальную систему отсчёта.

а) Пусть элементарная частица, движущаяся со скоростью, равной 0,96 скорости света, проходит через кубическую искровую камеру, сторона которой равна 1 м. Какое расстояние прошла бы в своём падении под действием гравитационного поля Земли за это время отдельная пробная частица, первоначально находившаяся в покое? Сравните полученную длину с поперечником атомного ядра (несколько превышающего 10^1 м). Подытожьте результат, указав размеры пространственно-временной области, в которой жёстко связанную с Землёй лабораторию можно идеализированно считать инерциальной, и приведя взятую степень точности. Какими размерами должна обладать искровая камера, чтобы, пока элементарная частица со скоростью 0,96 скорости света пересекает её, отдельная пробная частица могла пройти в своём падении из состояния покоя заметное расстояние?

б) В опыте Майкельсона — Морли (упражнение 33) луч света претерпевает отражения между парами зеркал, удалённых друг от друга на 2 м, так что луч проходит в целом путь, равный 22 м. Какое расстояние пройдёт в своём падении из состояния покоя в гравитационном поле Земли пробная частица за то время, пока данный фотон проходит через установку Майкельсона — Морли? С какой степенью точности является инерциальной жёстко связанная с Землёй система отсчёта в той области пространства-времени, где проводится опыт Майкельсона — Морли?

32.* Размеры инерциальной системы

Насколько велика может быть данная область пространства (x=y=z=L в метрах), насколько долго её можно исследовать (t в метрах!) и насколько близко она может быть расположена к центру гравитационного притяжения, чтобы ещё нельзя было заметить существенного отличия е этой области от идеальной инерциальной системы отсчёта?

а) Отличие первого рода: относительное ускорение перпендикулярно направлению притяжения.

Рис. 46. Освобождённые на одинаковой высоте (лежащие на одной горизонтали) грузы приближаются друг к другу в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).

1) Частный случай. Два массивных шарика высвобождаются в состоянии покоя; оба находятся на высоте 250 м над поверхностью Земли; расстояние между ними -25 м (рис. 46). Покажите, что расстояние между ними уменьшится примерно на 10^3 м, прежде чем они упадут на Землю. (Воспользуйтесь методом подобных треугольников или каким-нибудь близким методом. Этот пример обсуждался нами на стр. 19). Время падения с высоты 250 м с ускорением 9,8 м/сек^2 равно приблизительно 7 сек, или 21·10 м светового времени. Итак, падающий железнодорожный вагон может рассматриваться как инерциальная система отсчёта при условиях, что:

Условия

,

соответствующие тому

,

что отличие от идеальной инерциальной системы отсчёта ненаблюдаемо

(

наименьшее отличие

,

доступное обнаружению при помощи данных приборов)

>=1·10^3

м

r

(

расстояние от центра Земли

)

x

(

расстояние по горизонтали

)

y

и

z

(

протяжённость области в двух других направлениях

)

t

(

время наблюдения

)

r>=r=6,4·10

м

x=L<=25

м

При обсуждении взяты равными нулю; мы их приравняем нулю и здесь, так как в дальнейшем они не рассматриваются [часть (в)]

t<=21·10

м

(7

сек

)

2) Более общий случай. Пробная частица B отстоит на расстоянии x от пробной частицы A. Обе они находятся на одинаковом расстоянии r от центра притяжения и рассматриваются в течение времени t. Обозначим через a общую величину ускорения этих частиц под действием притягивающего центра (в м/сек^2), а через a*=a/c^2 — величину того же ускорения, измеренную в метрах расстояния за квадратный метр времени. Показать, что ускорение частицы B относительно A, (a^x)* (в метрах расстояния на квадратный метр времени), даётся формулой

(

a

^x

)*

=-

x

r

a*

.

(52)

(Считать входящие в рассмотрение углы настолько малыми, что их синусы и тангенсы можно приравнять друг другу).

б) Отличие второго рода: относительное ускорение параллельно направлению притяжения.

1) Общий случай. Пробная частица B отстоит на расстоянии z от пробной частицы A, и на одной прямой с ними на расстоянии r находится притягивающий центр. Таким образом, частица B находится дальше от центра, чем A, и на неё действует меньшая сила. Поэтому B отстаёт в своём падении от A, а наблюдатель, расположенный на A, найдёт, что на B действует ускорение в положительном направлении оси z. Показать, что это относительное ускорение (выраженное в метрах расстояния за квадратный метр времени) равно