Физика в примерах и задачах

11. Выскальзывающая доска.

На конце доски длины L и массы M находится маленький брусок массы m (рис. 11.1). Доска может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска о поверхность доски равен . Какую горизонтальную скорость v нужно толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?

Рис. 11.1. Доска мгновенно получает начальную скорость v

При сообщении доске горизонтальной скорости v резким толчком или ударом брусок не получает начальной скорости относительно земли, так как действующая на него со стороны доски сила трения не может превосходить mg и за короткое время удара не может сообщить бруску заметного импульса. После толчка в системе отсчёта, связанной с землёй, брусок движется равноускоренно, а доска - равнозамедленно.

Если начальная скорость доски v невелика, то может наступить такой момент, когда скорости доски и бруска примут одинаковое значение. В этот момент проскальзывание прекращается, дальше оба тела движутся равномерно с одинаковой скоростью v как одно тело, и доска, разумеется, уже не выскользнет из-под бруска. Если же начальная скорость доски достаточно велика, то скорости доски и бруска могут не успеть сравняться за то время, пока брусок проскользит вдоль всей доски. В этом случае доска выскользнет из-под бруска.

Обозначим расстояние, пройденное бруском по доске до момента превращения проскальзывания, через s. Очевидно, что при выполнении неравенства sL доска не выскальзывает из-под бруска. Если это неравенство не выполняется, то доска выскользнет из-под бруска.

Эта задача служит наглядным примером того, насколько проще и быстрее может приводить к ответу использование законов сохранения по сравнению с непосредственным применением законов динамики. Оказывается, что достаточно выписать два уравнения, соответствующих законам сохранения импульса и энергии, чтобы немедленно получить ответ.

Поскольку по условию между доской и плоскостью трение отсутствует, то направленный горизонтально полный импульс системы остаётся без изменения. Так как после прекращения проскальзывания оба тела движутся с одинаковой скоростью v, то

Mv

=

(M+m)v

.

(1)

Для применения закона сохранения энергии нужно прежде всего подсчитать работу сил трения, действующих между бруском и доской. Эти силы равны по модулю и противоположно направлены. Сила трения, действующая на брусок, разгоняет его, увеличивая его кинетическую энергию. Работа этой силы положительна. Сила трения, действующая на доску, тормозит её; работа этой силы отрицательна. Очевидно, что относительно земли точка приложения силы трения, действующей на доску, совершает перемещение s которое больше перемещения точки приложения второй силы трения s на величину s (рис. 11.2). Поэтому суммарная работа сил трения отрицательна и равна -mgs.

Рис. 11.2. Перемещение доски s больше перемещения бруска s на величину s

Таким образом, уравнение закона сохранения энергии записывается в виде

(M+m)v^2

2

–

Mv^2

2

=

– mgs

.

(2)

Выражая v из уравнения (1) и подставляя в (2), находим

s

=

1

2

M

M+m

v^2

g

.

(3)

Если вычисленное по формуле (3) значение s окажется больше L, то это и будет означать, что при такой начальной скорости доски v она выскользнет из-под бруска. Отсюда находим необходимое для этого значение v:

v

>

2gL(1+m/M)

.

(4)

Длиннее оказалось бы решение, основанное на непосредственном применении законов Ньютона. При таком решении прежде всего, определив ускорения тел, пришлось бы написать уравнения, выражающие зависимость от времени скоростей доски и бруска относительно земли. Это дало бы возможность найти момент времени, в который эти скорости окажутся одинаковыми. После этого, написав уравнения, выражающие зависимость положений доски s и бруска s от времени (рис. 11.2), можно найти то расстояние s, на которое переместится брусок относительно доски к моменту прекращения проскальзывания. Проделайте сами указанные выкладки и убедитесь, что они приводят к тому же самому результату (3).

12. Шарик на стержне.

Невесомый стержень с шариком на верхнем конце начинает падать из вертикального положения без начальной скорости (рис. 12.1). Нижний конец стержня упирается в уступ. Какой угол с вертикалью будет составлять скорость шарика в момент удара о горизонтальную плоскость?

Рис. 12.1. Начальное положение стержня

Не странно ли, что в условий отсутствуют какие бы то ни было количественные данные, такие как длина стержня и масса шарика? Для начала проанализируем задачу с точки зрения размерности. Найти нужно угол, т.е. величину безразмерную. Если бы искомый угол и зависел от линейных размеров, то только от безразмерного отношения двух длин. Однако рассматриваемая система характеризуется лишь одним таким параметром - длиной стержня. Поэтому искомый угол не может зависеть от длины стержня. По тем же соображениям он не зависит и от массы шарика. Не может он зависеть и от ускорения свободного падения g, ибо размерность g содержит время. Таким образом, результат не зависит от силы тяжести, хотя в отсутствие силы тяжести стержень вообще не падал бы. Ответ должен выражаться числом, которое не зависит от того, производится ли такой опыт на Земле, Луне или любой другой планете.

На идеально гладкой поверхности шарик из неустойчивого положения равновесия падал бы вертикально вниз, а конец стержня скользил бы по поверхности. Уступ препятствует скольжению стержня влево. Если нижний конец начнёт двигаться вправо, то шарик будет падать вертикально вниз, т.е. скорость его направлена по вертикали.

Интереснее случай, когда стержень начинает падать вправо. Шарик движется по дуге окружности до тех пор, пока действующая на него сила реакции стержня не обратится в нуль. Дальнейшее движение до удара о горизонтальную плоскость происходит по параболе, так как на шарик действует только сила тяжести.

Рис. 12.2. Падающий стержень

Найдём сначала угол , который стержень образует с вертикалью в тот момент, когда сила реакции стержня обращается в нуль. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление к центру окружности (рис. 12.2):

mv^2

l

=

mg

cos

(1)

(l - длина стержня). Входящую в (1) скорость шарика v можно выразить через угол с помощью закона сохранения энергии:

mgl

(1-cos )

=

mv^2

2

.

(2)

Подставляя v^2 из (2) в (1), получим уравнение для определения , которое даёт cos =2/3. Таким образом, свободное движение шарика начинается на высоте 2l/3 со скоростью v=2gl/3. Горизонтальная проекция скорости шарика

v

_г

=

v

cos

=

2

3

2gl/3

(3)

в дальнейшем остаётся неизменной.

Рассмотрим теперь момент удара шарика о горизонтальную плоскость. Модуль скорости v в этот момент будет таким же, как при свободном падении с высоты l: v=2gl Направление скорости проще всего найти, выражая синус угла , образуемого вектором скорости v с вертикалью (рис. 12.2), как отношение v_г/v:

sin

=

v_г

v

=

2

3

3

=

0,385

,

откуда

=22°40'

. <