Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Если бы требовалось определить не только угол , но ещё и скорость или место падения шарика на плоскость, то было бы необходимо задать длину стержня l. Отметим, что разобранная задача имеет много общего с широко известной задачей о соскальзывании шайбы с полусферы или полуцилиндра.
13. Мёртвая петля.
Рис. 13.1. «Мёртвая петля»
Небольшое тело скользит без трения по наклонному жёлобу, который затем переходит в круговую «мёртвую петлю» радиуса R (рис. 13.1). С какой минимальной высоты h должно спускаться тело без начальной скорости, чтобы оно не оторвалось
Рис. 13.2. «Мёртвая петля» с вырезом
Движение тела под действием одной лишь силы тяжести, как известно, происходит по параболической траектории. Поэтому для движения по круговому жёлобу, расположенному в вертикальной плоскости, кроме силы тяжести на тело должны действовать и другие силы. В отсутствие трения такой силой может быть только сила реакции N желоба, направленная по нормали к его поверхности (рис. 13.3). Очевидно, что тело не отрывается от желоба, пока эта сила не равна нулю. Если происходит отрыв тела от желоба, то в точке отрыва сила N обращается в нуль. После отрыва от желоба движение тела происходит только под действием силы тяжести и тело движется по параболе.
Рис. 13.3. Силы, действующие на тело
Предположим, что тело, не отрываясь, движется по жёлобу, и вычислим силу реакции N желоба в произвольной точке, положение которой определяется углом (рис. 13.3). Составим уравнение второго закона Ньютона для этой точки:
mg
+
N
=
ma
.
(1)
Для нахождения модуля силы N спроецируем уравнение (1) на радиальное направление. Поскольку нормальная составляющая ускорения равна v^2/R, из уравнения (1) имеем
mg
cos
+
N
=
mv^2
R
,
(2)
откуда
N
=
mg
v^2
gR
–
cos
.
(3)
В этом выражении скорость v тоже зависит от угла , и её нужно найти для определения N. Это можно сделать, используя проекцию уравнения (1) на касательное направление. Однако такой путь требует умения интегрировать. Поэтому для нахождения скорости удобнее использовать закон сохранения механической энергии.
Поскольку сила реакции желоба в любой точке перпендикулярна скорости тела и, следовательно, работы не совершает, полный запас механической энергии остаётся неизменным. В начальной точке тело обладает только потенциальной энергией, равной mgh. В рассматриваемой точке механическая энергия складывается из кинетической энергии mv^2/2 и потенциальной энергии mgR(1+cos ) (рис. 13.3). Поэтому
mgh
=
mv^2
2
+
mgR
(1+cos )
,
(4)
откуда
v^2
=
2gR
h
R
– 1-
cos
.
(5)
Подставляя найденное значение скорости в формулу (3), находим силу реакции N:
N
=
mg
2
h
R
– 2-
3cos
.
(6)
Из
выражения (6) видно, что наибольшее значение сила N имеет в нижней точке желоба, которой соответствует =, cos =-1:N
max
=
mg
2h
R
+
1
.
(7)
Из (7) следует, что сила, с которой тело давит на жёлоб в нижней точке, больше, чем сила тяжести mg. Только в том случае, когда начальная высота h равна нулю (т.е. тело просто лежит в нижней точке желоба), оно давит на жёлоб с силой, равной mg.
Из выражения (6) также видно, что сила N монотонно убывает по мере подъёма тела по жёлобу и достигает наименьшего значения в высшей точке, которой соответствует =0, cos =1:
N
min
=
mg
2h
R
–
5
.
(8)
Если тело не отрывается от желоба в верхней точке, то оно не оторвётся и ни в какой другой. Поэтому формула (8) позволяет найти ту минимальную начальную высоту hmin, при которой тело совершает полный оборот, не отрываясь от желоба. Полагая в (8) Nmin=0, находим
h
min
=
5R
2
.
(9)
Рис. 13.4. В разрыве «петли» между точками A и B тело движется по параболе
Рассмотрим теперь движение тела по петле с вырезом. Для того чтобы тело могло совершить «мёртвую петлю», в этом случае необходимо, чтобы, сорвавшись с края выреза в точке A и пролетев часть пути по параболе под действием только силы тяжести, оно попало бы как раз на продолжение желоба в точку B (рис. 13.4). Движение после отрыва от желоба происходит по закону
r
=
vt
+
gt^2
2
,
(10)
если начало отсчёта времени t и положения r выбраны в момент отрыва и в точке отрыва. Так как в точке отрыва A скорость v направлена по касательной к жёлобу, то, проецируя уравнение (10) на горизонтальное (x) и вертикальное (y) направления и требуя, чтобы траектория проходила через точку B (траектория 1 на рис. 13.4), получим
2R
sin
=
v
cos ·t
,
0
=
v
sin ·t
–
gt^2
2
.
(11)
Находя t из второго уравнения и подставляя в первое, получаем
v
=
gR
cos
.
(12)
Именно такой скоростью должно обладать тело в момент отрыва, чтобы оно попало в точку B.
Теперь обратим внимание на то, что формула (12) была получена только из кинематических соображений при рассмотрении свободного полёта тела от точки A к B. Поэтому необходимо проверить, что при такой скорости в точке A тело действительно сможет дойти до неё, двигаясь по жёлобу. Другими словами, нужно убедиться, что при такой скорости тело оказывает давление на жёлоб, т.е. вычисляемая по формуле (3) при = сила N больше нуля. Подставляя v^2 из (12) в формулу (3), получаем