Физика в примерах и задачах
Шрифт:
(3)
Соотношение (3) позволяет переписать формулу (2) для tg в виде
tg
=
1
+
m
M
tg
.
(4)
На рис. 8.3 пунктиром показана траектория бруска относительно земли. Если масса бруска много меньше массы клина, т.е. m/M<<1, то из формулы (4) получаем . Так и должно быть, ибо в этом предельном случае клин практически не приходит в движение. В другом предельном случае m/M>>1 угол /2: лёгкий клин выскальзывает из-под тяжёлого бруска, который падает практически отвесно.
Осталось найти только горизонтальную скорость клина в момент, когда брусок соскользнёт до его основания. Это можно сделать, если воспользоваться
mgh
=
m(vx^2+vy^2)
2
=
MV^2
2
.
(5)
Подставляя в это уравнение сначала vy из выражения (1), а затем vx из закона сохранения импульса (3), находим
V^2
=
2gh
(M/m)^2+(1+M/m)^2tg^2+M/m
.
(6)
Рассмотрите сами получающиеся из формулы (6) выражения в предельных случаях m/M<<1 и m/M>>1 и объясните результаты.
9. Шарики на длинной нити.
На очень длинной нити подвешен шарик массы m, к которому на нити длиной l, подвешен шарик массы m, (рис. 9.1). Какую начальную скорость v в горизонтальном направлении нужно сообщить нижнему шарику, чтобы соединяющая шарики нить отклонилась до горизонтального положения?
Рис. 9.1. Начальное положение нити с шариками
Какое значение имеет то обстоятельство, что верхний шарик подвешен на очень длинной нити? Это значит, что он движется практически по горизонтальной прямой, а сама длинная нить остаётся вертикальной. Если это осознать, то дальнейшее решение не должно вызывать принципиальных затруднений. Все действующие на систему внешние силы - сила натяжения верхней нити и силы тяжести, действующие на шарики, - направлены по вертикали, поэтому горизонтальная составляющая полного импульса системы сохраняется. В тот момент, когда шарики окажутся на одинаковой высоте, горизонтальная составляющая vг скорости второго шарика будет равна скорости первого шарика. Это следует из нерастяжимости соединяющей их нити. Поэтому сохранение горизонтальной составляющей импульса системы можно записать в виде
mv
=
(m+m)
v
г
.
(1)
Обозначив вертикальную составляющую скорости нижнего шарика через vв запишем также уравнение закона сохранения механической энергии:
mv^2
2
=
(m+m)vг^2
2
+
mvв^2
2
+
mgl
.
(2)
Из уравнения (2) видно, что минимальное значение скорости v соответствует случаю, когда вертикальная составляющая vв в интересующий нас момент обращается в нуль: vв=0. Подставляя в (2)
v
г
=
vm
m+m
из (1), получаем
v
0min
=
2gl(1+m/m)
.
(3)
Если нижний шарик гораздо легче верхнего, т.е. m<
10. Пуля пробивает шар.
Горизонтально летящая пуля массы m насквозь пробивает первоначально покоившийся шар массы M и вылетает из него со скоростью, вдвое меньшей первоначальной. Какая доля кинетической энергии пули превратилась во внутреннюю энергию?
Обозначим скорость пули до столкновения с шаром через v, а приобретаемую шаром скорость через V. По условию скорость пули на вылете из шара равна v/2, поэтому уравнение закона сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление принимает вид
mv
=
MV
+
mv
2
.
(1)
Из этого уравнения сразу можно получить приобретаемую шаром скорость V:
V
=
mv
2M
.
Приращение внутренней энергии, т.е. выделяющееся при неупругом взаимодействии пули с шаром количество теплоты Q, можно найти с помощью закона сохранения энергии:
mv^2
2
=
MV
2
+
m(v/2)^2
2
+
Q
.
(3)
Подставляя сюда V из (2), находим
Q
=
mv^2
2
3
–
m
M
.
(4)
Так как начальная кинетическая энергия пули E=mv^2/2, то для искомого отношения Q/E из (4) получаем
Q
E
=
1
4
3
–
m
M
.
(5)
Но можно ли считать, что полученная формула даёт ответ на поставленный вопрос? Она выражает искомую величину через приведённые в условии данные, но ставить точку рано, полученный результат нужно ещё исследовать. Очевидно, что отношение Q/E должно быть положительным, поэтому напрашивается вывод, что формула (5) применима при m/M<3. Пусть, например, отношение m/M=2. Тогда формула (5) даёт для Q/E значение 1/4 . Казалось бы, всё в порядке, поскольку Q/E получилось положительным и меньшим единицы. И тем не менее этот результат не имеет смысла при приведённых в условии задачи данных. Действительно, посмотрим на формулу (2). Из неё следует, что при m/M=2 скорость V=v: пробитый пулей насквозь шар летит со скоростью, вдвое превышающей скорость пули v/2! Получилась явная физическая бессмыслица. Уже в процессе решения после получения формулы (2) следовало бы обратить внимание на то, что, пробив шар насквозь, пуля может иметь скорость v/2 только при выполнении условия v/2>V, т.е. при
m
M
<
1
.
(6)
Только в совокупности с условием (6) формула (5) даёт ответ на поставленный в данной задаче вопрос. Теперь ясно, что в зависимости от отношения масс m/M во внутреннюю энергию может превратиться от половины (при m->M) до трёх четвертей (при m->0) первоначальной кинетической энергии.
Теперь подумаем о том, имеет ли какой-нибудь смысл формула (5) при 1<=m/M<=3. Если m=M, то из формулы (2) следует, что V=v/2, т.е. шар и пуля имеют одинаковую скорость. Столкнувшиеся тела летят вместе, т.е. пуля застревает в шаре. В этом случае говорят об абсолютно неупругом ударе. Конечно, не следует думать, что абсолютно неупругий удар возможен только при m=M: здесь так получилось, потому что в условии задана конечная скорость, равная, v/2 Если же выполняется строгое неравенство 1<m/M<3, то после столкновения шар летит впереди пули со скоростью V, определяемой формулой (2): v/2<V<3v/2. При таком неупругом ударе во внутреннюю энергию переходит до половины первоначальной кинетической энергии. Наконец, если m/M=3, то, как видно из (4), Q=0, т.е. тепло вообще не выделяется: при ударе сохраняется механическая энергия. Это случай абсолютно упругого удара.