Физика в примерах и задачах

7. Брусок на наклонной плоскости.

Наклонная плоскость, составляющая угол с горизонтом, движется горизонтально с ускорением a в направлении, указанном на рис. 7.1. Как будет двигаться лежащий на ней брусок, если коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен ?

Рис. 7.1. Наклонная плоскость движется с заданным ускорением a

Рассмотрим сначала простейший частный случай, когда плоскость покоится или движется равномерно (a=0). При этом поведение бруска исследуется очень просто. Если >=tg , брусок покоится на наклонной плоскости, при <tg брусок ускоренно соскальзывает вниз.

Выясним теперь, при каком условии брусок будет неподвижно лежать на наклонной плоскости при её ускоренном движении. Очевидно, что ускорение бруска при этом должно совпадать с ускорением плоскости. Для этого необходимо, чтобы векторная сумма всех сил, действующих на брусок, была равна произведению его массы на ускорение a. На брусок действуют сила тяжести mg, сила реакции наклонной плоскости N и сила трения покоя F. Напомним, что сила трения покоя может изменяться от нуля до максимального значения, равного N. Направлена она может быть как вверх, так и вниз вдоль наклонной плоскости. Если ускорение плоскости a таково, что mg+N=ma, то сила трения отсутствует: F=0 (рис. 7.2а). Это, конечно, не значит, что доска вдруг стала гладкой! Просто при a=a относительная скорость бруска и поверхности равна нулю и в отсутствие силы трения, и поэтому сила трения не возникает. Из рис. 7.2а видно, что a=g tg .

Рис. 7.2. Силы, действующие на брусок, при разных ускорениях наклонной плоскости

Если ускорение наклонной плоскости a немного меньше a то в отсутствие трения, т.е. при =0, брусок соскальзывал бы вниз; при /=0 возникает сила трения, направленная вверх вдоль наклонной плоскости, и брусок остаётся неподвижным. Но поскольку сила трения покоя не может превышать N, то при достаточно малом ускорении плоскости, меньшем некоторого значения a брусок будет соскальзывать вниз. Это значение ускорения a находится из условия, что сила трения F равна своему максимальному значению N и направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 7.2б). Составим уравнение движения бруска mg+N+F=ma и спроецируем его на направления вдоль наклонной плоскости и по нормали к ней:

mg

sin

–

N

=

ma

cos

,

N

–

mg

cos

=

ma

sin

.

(1)

Исключая N, находим

a

=

g

sin -cos

cos +sin

.

(2)

Итак, если ускорение плоскости a<a, брусок соскальзывает вниз.

Заметим, что при >tg ускорение a оказывается отрицательным. Какой в этом смысл? Напомним, что при >=tg брусок не будет соскальзывать и при a=0 (наклонная плоскость неподвижна или движется равномерно). Брусок не будет соскальзывать и при a<0, когда ускорение плоскости направлено влево, до тех пор, пока модуль ускорения не превзойдёт |a|. Действительно, уравнения (1) справедливы и тогда, когда ускорение a направлено влево, если под a понимать его проекцию на горизонтальное направление.

Таким образом, мы нашли условие соскальзывания бруска при любых , и :

a

<

g

sin -cos

cos +sin

.

Пусть теперь ускорение плоскости a немного больше a. Тогда при =0 брусок перемещался бы вверх вдоль плоскости; при /=0 возникает сила трения покоя, направленная вниз вдоль плоскости, и брусок останется неподвижным на плоскости. С ростом a увеличивается и сила трения, и когда ускорение становится таким, что сила трения F достигает своего максимального значения N, брусок начинает скользить вверх. Выясним, при каком ускорении плоскости a сила трения становится равной N (рис. 7.2в). Составляя, как и раньше, уравнение движения бруска mg+N+F=ma и проецируя его на те же направления:

mg

sin

+

N

=

ma

cos

,

N

–

mg

cos

=

ma

sin

,

находим

a

=

g

sin +cos

cos -sin

.

Итак, если ускорение плоскости a>a, брусок скользит вверх. Заметим, что a при =ctg обращается в бесконечность. Это означает, что при >=ctg брусок не будет скользить вверх ни при каком ускорении плоскости.

Собирая вместе полученные результаты, можно записать условие неподвижности бруска на наклонной плоскости:

g

sin -cos

cos +sin

<=

a

<=

g

sin +cos

cos -sin

, <= ctg

;

,

>= ctg .

8. Брусок на подвижном клине.

На верхнюю часть клина массы M, который может без трения перемещаться по горизонтальной поверхности (рис. 8.1), кладут брусок массы m и отпускают без начального толчка. Какую горизонтальную скорость приобретает клин к тому моменту, когда брусок соскользнёт до конца? Какой угол с горизонтом составляет вектор скорости бруска v, если угол при основании клина равен ? Высота клина равна h. Трением между бруском и поверхностью клина пренебречь.

Рис.8.1. В начальный момент брусок и клин неподвижны

Проще всего ответить на поставленные вопросы, используя законы сохранения импульса и энергии. Однако в данном случае одних законов сохранения недостаточно. Необходимо ещё использовать кинематическую связь между скоростями клина и бруска, выражающую условие того, что движение бруска происходит именно по поверхности клина.

Рис. 8.2. Скорость бруска относительно клина направлена вдоль поверхности клина

Обозначим горизонтальную и вертикальную составляющие скорости бруска относительно земли через v_x и v_y, а скорость клина в тот же момент времени через -V. Поскольку при соскальзывании бруска клин движется налево, то горизонтальная составляющая скорости бруска относительно клина равна v_x+V (рис. 8.2). Полная скорость бруска относительно клина должна быть направлена вдоль его поверхности, поэтому с помощью рис. 8.2 сразу находим

v

_y

=

(

v

_x

+

V

)

tg

.

(1)

Это и есть искомое кинематическое соотношение.

Рис. 8.3. Вектор скорости v и траектория бруска (пунктир) относительно земли

Вектор скорости бруска относительно земли v образует угол с горизонтом, тангенс которого равен отношению v_y/v_x (рис. 8.3). Поэтому с помощью соотношения (1) имеем

tg

=

v_y

v_x

=

1

+

V

v_x

tg

.

(2)

Величины v_x и V можно связать с помощью условия сохранения горизонтальной составляющей импульса системы, которое выражает тот факт, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении:

mv

_x

=

MV

. <