Физика в примерах и задачах

Итак, функция r(t) содержит полную информацию о кинематике движения тела, т.е. ответ на любой вопрос в кинематических задачах можно получить, используя только зависимость r(t). Никаких других физических законов при этом привлекать не требуется. Например, зависимость мгновенной скорости точки от времени в однородном поле может быть получена из соотношения (2) дифференцированием радиус-вектора по времени и имеет вид

v(t)

=

v

+

at

.

При решении задач мы будем записывать уравнение (2) непосредственно в проекциях на оси координат. При постоянном ускорении a всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение (2) сводилось к двум скалярным: так как траектория, по которой движется тело, плоская, то нужно просто совместить, например, плоскость x, y с плоскостью, в которой лежит траектория. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно двум скалярным уравнениям

x(t)

=

x

+

v

_x

t

+

a_xt^2

2

,

y(t)

=

y

+

v

_y

t

+

a_yt^2

2

.

(3)

В частности, если рассматривать движение тела вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести, то удобно направить ось y вертикально вверх. Тогда вектор ускорения имеет только одну отличную от нуля проекцию: a_x=0, a_y=-g, и система (3) принимает вид

x(t)

=

x

+

v

_x

t

=

x

+

v

cos ·t

,

y(t)

=

y

+

v

_y

t

–

gt^2

2

=

y

+

v

sin ·t

–

gt^2

2

,

(4)

где - угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Иногда удобно поместить начало координат в начальную точку траектории, тогда x=y=0.

При равномерном движении материальной точки по окружности скорость изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю. Ускорение при этом направлено к центру окружности перпендикулярно скорости, т.е. по нормали к траектории, и равно по модулю

a

=

v^2

R

,

(5)

где R - радиус окружности. Эта же формула справедлива и при движении точки с постоянной по модулю скоростью v по произвольной криволинейной траектории. В этом случае R есть радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Ускорение при этом направлено к центру кривизны, т. е, перпендикулярно скорости, направленной по касательной к траектории. Если же скорость меняется по модулю, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, даваемой той же формулой (5), будет ещё составляющая, направленная по вектору скорости или против него, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость движущейся материальной точки.

Решение кинематической задачи сводится к использованию указанных выше уравнений в конкретных условиях, сформулированных в задаче. При этом было бы наивно пытаться овладеть каким-то «общим методом» решения, пригодным для всех задач; подобного «общего метода» попросту не существует. Наоборот, на приводимых примерах читатель может убедиться, что всегда существует несколько более или менее различающихся между собой подходов к исследованию физических явлений.

Разные подходы нередко оттеняют новые стороны изучаемого явления, позволяя глубже проникнуть в его физический смысл. Поэтому в большинстве разбираемых задач приводятся различные варианты решения.

1. Переправа.

Представим себе реку с параллельными берегами, расстояние между которыми l (рис. 1.1). Скорость течения по всей ширине реки одинакова и равна u.

Рис. 1.1. Скорость течения u в любом месте реки одинакова

С какой наименьшей постоянной скоростью v_min относительно воды должна плыть лодка, чтобы из точки A попасть в точку B на противоположном берегу, находящуюся на расстоянии s ниже по течению? На какое минимальное расстояние s_min снесёт лодку вниз по течению при переправе на другой берег, если модуль её скорости относительно воды равен v?

Рис. 1.2. Скорость лодки относительно берегов V равна сумме векторов u и v

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно прежде всего отчётливо представить себе, что скорость лодки относительно берегов V есть векторная сумма скорости течения u и скорости лодки относительно воды v (рис. 1.2):

V

=

u

+

v

.

(1)

Будем считать, что лодка имеет относительно воды некоторую неизменную по модулю скорость v. Тогда, отправляясь из точки A, лодка сможет попасть в точку B только в том случае, если её скорость относительно берегов V удастся направить по прямой AB или левее этой прямой. Если ни при каком направлении v мы не сможем получить в начальный момент результирующую скорость V вдоль прямой AB, то лодку обязательно снесёт течением ниже точки B (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Выбор направления скорости лодки v для переправы из A в B

Рис. 1.4. К вычислению минимальной скорости v_min

Нужное нам направление вектора V может быть получено при разных значениях вектора v. Скорость течения u во всех случаях направлена одинаково и изображается одним и тем же вектором. Скорость лодки относительно воды v может быть направлена по-разному. Из рис. 1.3 видно, что эта скорость будет наименьшей в том случае, когда скорость лодки относительно берега V направлена именно по прямой AB, а скорость v перпендикулярна этой прямой. Этот случай показан на рис. 1.4. Из подобия изображённых прямоугольных треугольников находим

v_min

u

=

l

l^2+s^2

.

(2)

Отметим, что если мы хотим попасть в точку B, двигаясь с минимальной возможной скоростью v_min, то нам придётся направить нос лодки перпендикулярно выбранной траектории лодки AB. Лодку будет сносить течением, и в результате она будет боком приближаться к намеченной цели!

Возвращаясь к рис. 1.3, мы видим, что для получения ответа на первый вопрос задачи нам пришлось проанализировать треугольник, соответствующий закону сложения скоростей (1). В этом треугольнике одна из сторон (u) была задана по модулю и направлению. Направление другой стороны (V) мы выбрали, исходя из условия задачи - требования попасть в точку B. Тогда для получения минимального значения модуля третьей стороны (v) её нужно было направить перпендикулярно выбранному направлению V

Рис. 1.5. Выбор направления для переправы с минимальным сносом

Аналогичные рассуждения можно использовать и для ответа на второй вопрос задачи. Вектор скорости течения u и в этом случае задан по модулю и направлению. Что касается второго слагаемого в правой части выражения (1) - скорости лодки относительно воды v, то заранее известен только её модуль v, а направление может быть любым. Если начало вектора v совместить с концом вектора u (рис. 1.5), то конец вектора v может лежать в любой точке окружности радиуса v. Из рис. 1.5б сразу видно, что снос лодки течением неизбежен, если v<u Если же скорость лодки v больше скорости u, то при должном выборе направления v можно добиться того, что сноса вообще не будет (рис. 1.5а). Более того, при v>u можно, переправляясь через реку, причалить к противоположному берегу в любом месте выше по течению.

Анализ рис. 1.5б показывает, что при v<u снос будет минимальным, если скорость лодки относительно берегов V направлена по касательной к окружности радиуса v Сравнивая изображённые на этом рисунке подобные треугольники, находим минимальный снос лодки s_min:

s

_min

=

lu^2-v^2

v

,

v<u

.

(3)

Посмотрите ещё раз на рис. 1.5б и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы её снос течением был минимальным.