Физика в примерах и задачах

y

=

v^2

2g

–

gx^2

2v^2

,

что совпадает с полученным ранее уравнением границы (4).

8. Грязь от колёс.

Телега равномерно катится по горизонтальной мокрой дороге. На какую максимальную высоту поднимаются капли воды, срывающиеся с обода колеса?

Эта задача во многом подобна предыдущим. Самая существенная особенность заключается, пожалуй, в том, что для её решения нельзя поместить начало координат в исходную точку траектории капли, так как отрыв капель происходит в разных точках обода колеса. Совместим поэтому начало координат с центром колеса, т.е. будем рассматривать движение капель в системе отсчёта, связанной с телегой, движущейся равномерно и прямолинейно относительно земли. Очевидно, что максимальная высота подъёма капель по вертикали не зависит от того, рассматривать их движение в системе отсчёта, связанной с землёй, или в системе отсчёта, связанной с равномерно движущейся по горизонтали телегой. Если скорость телеги равна v и колеса не пробуксовывают, то в выбранной системе отсчёта скорость любой точки обода также равна v. (Докажите последнее утверждение сами - это совсем просто.) Положение любой из точек, в которых происходит отрыв капли от обода, однозначно определяется углом (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Траектории капель в системе отсчёта, связанной с телегой

Текущие координаты капли, оторвавшейся от обода колеса в точке, характеризуемой углом , определяются соотношениями

x(t)

=-

R cos

+

v

sin ·t

,

(1)

y(t)

=

R sin

+

v

cos ·t

–

gt^2

2

.

(2)

Для нахождения максимальной высоты подъёма капли y_max нужно подставить в уравнение (2) время подъёма капли t, которое проще всего найти следующим образом. В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости v_y обращается в нуль: v_y=v cos -gt=0, откуда

t

=

v

g

cos

.

(3)

Тогда максимальная высота подъёма капли, оторвавшейся от обода в рассматриваемой точке,

y

_max

=-

v^2

2g

sin^2

+

R sin

+

v^2

2g

.

(4)

(В этой формуле cos выражен через sin .)

Из (4) видно, что максимальная высота подъёма зависит от угла , т.е. от того, в какой точке произошёл отрыв капли. В какой же точке должна оторваться капля, чтобы подняться выше всех остальных? Выражение (4) для максимальной высоты подъёма представляет собой квадратный трехчлен относительно sin и принимает своё наибольшее значение

h

_max

=

gR^2

2v^2

+

v^2

2g

(5)

при sin =gR/v^2. Конечно, этот результат имеет смысл, если gR<=v^2, т.е. если телега катится достаточно быстро. В противном случае, как нетрудно убедиться, ни одна из отрывающихся капель не поднимается выше верхней точки обода. Докажите это самостоятельно.

С помощью соотношения (1) легко увидеть, что найденная точка наивысшего подъёма лежит точно над осью колеса: подставляя (3) в (1) и учитывая, что sin =gR/v^2 получаем x=0.

Ответ на поставленный в задаче вопрос - формула (5) для наибольшей высоты подъёма отрывающихся капель - -получен путём исследования на максимум квадратного трехчлена (4) относительно sin . Этот результат можно получить и иначе. Будем рассуждать следующим образом. Зафиксируем некоторое значение y_max и решим уравнение (4) относительно sin :

sin

_1,2

=

gR

v^2

±

gR

v^2

^2

+1-

2gy_max

v^2

1/2

.

(6)

Здесь углы и определяют те точки обода, отрываясь от которых капли достигают заданной максимальной высоты. Если вещественных корней нет, то заданного значения y_max не достигает ни одна капля. Если есть два различных вещественных корня и , то заданная высота является максимальной для двух капель. Это отчётливо видно из рис. 9.4 задачи 9 про «мокрое» колесо. Наибольшей высоты из всех капель, как видно из того же рисунка, достигает только одна капля. Следовательно, эту наибольшую высоту h_max можно найти, потребовав, чтобы оба корня уравнения (6) сливались в один: приравнивая дискриминант нулю, получаем ответ - формулу (5).

Итак, получено исчерпывающее решение этой задачи. Как и предыдущие задачи, мы решили её, используя уравнения движения (1) и (2), которые дают зависимость координат движущегося тела от времени. Эти уравнения содержат всю информацию о движении тела. Но во многих случаях полная информация бывает не нужна. Например, в обсуждаемой задаче нас совершенно не интересуют временные зависимости - требуется найти лишь положение точки наивысшего подъёма капли, а момент времени, когда капля там оказывается, интереса не представляет. В подобных случаях часто оказывается удобным с самого начала исключить избыточную информацию, воспользовавшись законами сохранения. В рассматриваемой задаче можно сразу получить соотношение (4) для наибольшей высоты подъёма капель, если применить закон сохранения механической энергии. Полагая потенциальную энергию капли на уровне оси колеса равной нулю, для полной энергии капли в точке отрыва имеем

E

=

mg

R sin

+

mv^2

2

.

В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль. Поскольку горизонтальная составляющая скорости не меняется, энергия в высшей точке

E

=

mg

y

_max

+

m(v sin )^2

2

.

Приравнивая E и E, получаем формулу (4). Как видите, во многих задачах не вредно подумать о том, нельзя ли упростить решение, используя законы сохранения!

9. Капли с вращающегося колеса.

«Мокрое» колесо равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси. С обода срываются капли. Найти границу «сухой» области.

Рис. 9.1. В отсутствие тяжести капли движутся прямолинейно

Движение оторвавшихся капель происходит под действием силы тяжести, которая всем каплям сообщает одинаковое ускорение g. Это позволяет сначала отвлечься от наличия тяготения. Рассмотрим движение капель, оторвавшихся от обода колеса в один и тот же момент. В отсутствие ускорения свободного падения капли движутся по прямым линиям. В любой момент времени t все капли лежат на окружности радиуса r (рис. 9.1), для которого с помощью теоремы Пифагора можно написать

r^2(t)

=

R^2

+

(vt)^2

,

(1)

где R - радиус колеса, v - скорость точек обода.

Радиус окружности r увеличивается с течением времени, а при наличии тяготения вся эта окружность ещё и «падает» с ускорением свободного падения g. Если начало координат выбрано в центре колеса, то в любой момент времени t ордината центра окружности равна -gt^2/2. Уравнение «падающей» окружности в этой системе координат имеет вид

x^2

+

y

+

gt^2

2

^2

=

r^2(t)

.

(2)

Рис. 9.2. Граница «мокрой» области как огибающая окружностей

Уравнение (2) есть уравнение целого семейства окружностей: придавая r разные значения, получаем окружности, на которых находятся капли в различные моменты времени. Легко сообразить, что искомая граница есть огибающая этого семейства окружностей (рис. 9.2). Ясно, что высшая точка этой границы лежит точно над осью колеса. Другими словами, уравнение (2) определяет всю «мокрую» область (рис. 9.3), и для решения задачи нам нужно найти границу заштрихованной области.