Физика в примерах и задачах
Шрифт:
h
=
gt^2
2
,
H
–
h
=
v
sin ·t
–
gt^2
2
,
l^2-H^2
=
v
cos ·t
.
(1)
Здесь H - высота кольца над точкой бросания теннисного мяча, а l^2-H^2 представляет собой расстояние до кольца по горизонтали (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Проекции перемещений мячей
В системе трёх уравнений (1) четыре неизвестных величины: v, , t и H. Поэтому может показаться, что задача не имеет единственного
H
=
v
sin ·t
.
(2)
Разделив почленно это уравнение на третье уравнение системы (1), находим выражение для tg :
tg
=
H
l^2-H^2
.
(3)
Теперь с помощью рис. 4.2 можно увидеть, что угол , под которым должна быть направлена начальная скорость теннисного мяча, в действительности соответствует направлению из точки бросания на кольцо. Истинное направление начальной скорости v показано на рис. 4.3. Итак, бросать теннисный мяч нужно точно в направлении кольца. Модуль его начальной скорости можно найти, подставляя t=2h/g из первого уравнения системы (1) в уравнение (2). Учитывая, что H/sin =l, получаем
v
=
l
t
=
l
2h/g
.
(9)
Рис. 4.3. Истинное направление вектора v начальной скорости
Но всех этих преобразований можно избежать, если с самого начала перейти в систему отсчёта, связанную с баскетбольным мячом, т.е. свободно падающую с ускорением g в этой системе отсчёта баскетбольный мяч, естественно, неподвижен, а теннисный движется равномерно и прямолинейно со скоростью v. Очевидно, что эта скорость v должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время t=l/v мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчёта за это время баскетбольный мяч опустится на расстояние
h
=
gt^2
2
=
g
2
l
v
^2
,
(5)
откуда для v получаем прежнее выражение (4). На примере этой задачи мы видим, что в некоторых случаях удобным оказывается переход в ускоренно движущуюся систему отсчёта.
5. В цель с наименьшей начальной скоростью.
Необходимо с поверхности земли попасть камнем в цель, которая расположена на высоте h и на расстоянии s по горизонтали. При какой наименьшей начальной скорости камня это возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь.
На первый взгляд кажется, что начальная скорость камня будет наименьшей, если верхняя точка его траектории совпадает с мишенью (рис. 5.1а).
Рис. 5.1. К выбору оптимальной траектории
Может быть, и вам так показалось? Иллюзия эта настолько сильна, что подобное решение аналогичной задачи можно встретить в некоторых солидных пособиях по решению физических задач. Однако, даже не решая задачи, легко убедиться, что это не так. Действительно, будем мысленно уменьшать высоту, на которой расположена цель. При этом точка, куда попадает камень, продолжает согласно предположению оставаться верхней точкой траектории (рис. 5.1б), в том числе и в предельном случае h=0. Но совершенно очевидно, что для того чтобы попасть в цель, находящуюся на земле, достаточно просто добросить камень до цели (рис. 5.1б). Итак, предположение о том, что цель совпадает с высшей точкой траектории полёта камня,
неверно.Ошибочность этого предположения становится ещё более очевидной, если заметить, что требуемая при этом начальная скорость должна возрастать по мере того, как h->0.
Приведённый анализ представляет собой пример проверки решения задачи предельным переходом к более более простому случаю, когда ответ либо очевиден, либо может быть легко найден.
Из приведённого качественного анализа можно сделать заключение, что цель всегда должна находиться на нисходящей ветви траектории (рис. 5.1б). Ещё раз напомним, что мы ищем траекторию с минимальной начальной скоростью.
Приступим к решению задачи.
Пусть камень брошен под углом к горизонту и попал в цель. Его перемещения по горизонтали s и по вертикали h могут быть записаны следующим образом:
s
=
v
cos ·t
,
h
=
v
sin ·t
–
gt^2
2
.
Поскольку время полёта камня t нас не интересует, исключим его из этих уравнений. Выражая t из первого уравнения и подставляя во второе, получаем
h
=
s tg
–
gs^2
2v^2cos^2
.
(1)
Это уравнение содержит две неизвестные величины v и и имеет поэтому бесчисленное множество решений, что соответствует возможности попасть в цель бесконечным числом способов. Из этих решений нам нужно выбрать то, которое соответствует минимальному значению v.
Прямой путь решения этой задачи состоит в нахождении v как функции от из уравнения (1) и исследовании этой функции на экстремум, что требует, однако, применения высшей математики. Поэтому поступим иначе. Решим уравнение (1) относительно . Используя известное соотношение 1/cos^2=1+tg^2, замечаем, что из (1) получается квадратное уравнение относительно tg :
gs^2tg^2
–
2v^2s
tg
+
gs^2
+
2v^2h
=
0.
(2)
Решив его, получим
tg
=
1
gs
v^2
±
v-g(gs^2+2v^2h)
.
Казалось бы, ничего хорошего не получается - громоздкое выражение. А на самом деле мы в двух шагах от ответа на вопрос задачи. Действительно, для tg физический смысл имеют только вещественные решения, и поэтому дискриминант должен быть неотрицательным:
v^2
–
2ghv^2
–
g^2s^2
>=
0.
Легко убедиться, что минимальное значение v^2 при котором это соотношение справедливо, соответствует случаю равенства; таким образом,
v^2
min
=
g(h+
h^2+s^2
)
.
(Второй корень v^2min=g(h-h^2+s^2) не имеет физического смысла, так как квадрат скорости есть величина положительная.) Итак, полученный нами ответ имеет вид
v
min
=
g(h+
h^2+s^2
)
1/2
.
(3)
Проанализируем теперь решение несколько подробнее. Возвратимся к квадратному уравнению для tg . При положительном дискриминанте оно имеет два решения, т.е. при заданном значении v камень может попасть в цель по двум различным траекториям. При отрицательном дискриминанте решений нет, т.е. ни при каком значении угла камень не попадёт в цель при заданной скорости. При равном нулю дискриминанте имеется только одно решение (единственная траектория полёта камня до цели). Именно в этом случае, как мы выяснили, начальная скорость будет минимальной, а выражение для tg имеет особенно простой вид: