Физика в примерах и задачах
Шрифт:
tg
=
v^2min
gs
=
h+h^2+s^2
s
.
(4)
Проверим правильность полученного результата предельными переходами.
1. Если h=0, то tg =1, т.е. камень нужно бросить под углом /4. Хорошо известно, что это соответствует максимальной дальности полёта по горизонтали при заданной начальной скорости, а при заданной дальности - минимальной начальной скорости. Этот случай уже обсуждался вначале.
2. Если s->0 то tg -> а ->/2. Действительно, камень следует бросать вертикально вверх, и только
Итак, мы решили поставленную задачу, потребовав, чтобы корни квадратного уравнения (2) для tg имели физический смысл, т.е. были вещественными.
Рассмотрим теперь несколько иной способ рассуждений, приводящий, естественно, к тому же результату. Прежде всего отметим одно очевидное обстоятельство: при заданном расстоянии s чем выше расположена цель, тем больше должна быть минимальная начальная скорость камня. Поэтому, вместо того чтобы искать минимум v при заданном h, можно искать максимум h при заданном v.
Предположим, что v задано. Тогда, выразив h из (2):
h
=-
gs^2
2v^2
tg^2
+
s tg
–
gs^2
2v^2
,
легко исследовать получившийся квадратный трехчлен относительно tg на максимум. (Напомним, что максимум квадратного трехчлена y=ax^2+bx+c (a<0) имеет место при x=-b/2a и равен c-b/4a.) Максимальное значение h достигается при tg =v^2/gs и равно
h
=
v^2
2g
–
gs
2v^2
.
(5)
Из (5) находим минимальное значение начальной скорости v при заданной высоте цели h, совпадающее с полученным ранее.
6. В цель за стеной.
Между целью и миномётом, находящимися на одной горизонтали, расположена стена высотой h. Расстояние от миномёта до стены равно a, а от стены до цели b. Определить минимальную начальную скорость мины, необходимую для поражения цели. Под каким углом при этом следует стрелять? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Рис. 6.1. Траектории, проходящие через цель
Попробуем разобраться в этой задаче, не выписывая пока никаких формул. Рассмотрим все траектории, проходящие через цель, забыв на время о существовании стены. На рис. 6.1 выделена траектория, соответствующая наименьшему значению начальной скорости мины. Напомним, что этой траектории соответствует угол =45°. Нетрудно убедиться, что начальные скорости, соответствующие другим траекториям, монотонно возрастают при удалении этих траекторий от выделенной как вверх, так и вниз. Поэтому если стена окажется ниже выделенной траектории, то решение тривиально: именно эта траектория и удовлетворяет поставленным условиям. Если стена окажется выше, то искомая траектория проходит через верхний край стены. Вот и всё.
Теперь остаётся только записать эти рассуждения на математическом языке, т.е. получить выражения для вычисления начальной скорости v и угла в каждом из этих случаев.
Прежде всего получим общее уравнение траектории, проходящих через цель. Как мы уже знаем, уравнение траекторий, выходящих из начала координат, имеет вид
y
=
x tg
–
gx^2
2v^2
(1+tg^2)
.
(1)
Потребуем, чтобы эти траектории проходили через цель.
Для этого положим в (1) y=0 при x=a+b:0
=
(a+b)
tg
–
g(a+b)^2
2v^2
(1+tg^2)
.
(2)
Выражая из (2) начальную скорость v и подставляя в (1), получим уравнение траекторий, проходящих через цель:
y
=
x
1
–
x
a+b
tg
.
(3)
Придавая разные значения в пределах от 0 до /2, получаем все траектории, изображённые на рис. 6.1. Выделенная траектория получается при tg =1 (=/4):
y
=
x
1
–
x
a+b
.
(4)
Выясним теперь, при каком условии эта траектория проходит над стеной. Для этого найдём высоту h точки траектории при x=a:
h
=
a
1
–
a
a+b
=
ab
a+b
.
Таким образом, если высота стены h меньше, чем h то искомая траектория определяется выражением (4), а соответствующая ей начальная скорость v легко находится из уравнения (2) при tg =1:
v
min
=
g(a+b)
Это есть обычное соотношение между начальной скоростью и максимальной дальностью полёта по горизонтали.
Определим теперь искомую траекторию, если стена выше выделенной траектории: h>h Как уже отмечалось, в этом случае нужно найти траекторию, проходящую через верхний край стены, т.е. положить в (3) y=h при x=a:
h
=
a
1
–
a
a+b
tg
,
откуда tg =h(a+b)/ab Уравнение искомой траектории получим, подставив найденное значение tg в формулу (3):
y
=
x
1
–
x
a+b
a+b
ab
h
.
Отметим, что для ответа на поставленные в задаче вопросы это уравнение нам не требуется, но оно даёт возможность проследить, через какие точки мина летит к цели. Для нахождения соответствующей этой траектории начальной скорости нужно подставить полученное значение tg в уравнение (2):
v^2
min
=
gab
2h
1
+
h
a+b
ab
^2
.
Итак, резюмируя изложенное, сформулируем ответ:
если
h
<=
ab
a+b
, то
=
4
,
v^2
=
g(a+b)
;
если
h
>=