ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Ахилл: У вас не возникало мысли, друзья, что утверждения Няунамара могут быть ошибочными?

Краб: Честно говоря, Ахилл, поскольку я такой консерватор, я сразу об этом подумал. На самом деле, мне сначала показалось, что это совершеннейшая утка. Но потом я решил, что мало кому удалось бы высосать из пальца такие странные и сложные результаты. В конце концов, все свелось к вопросу: «Что более вероятно: что письмо написано очень талантливым шарлатаном, или что его написал гениальный математик?» И вскоре я вычислил, что более вероятно первое.

Ахилл: Но вы все же проверили его утверждения?

Краб: К чему? Мой вероятностный аргумент намного лучше любого математического доказательства — он вполне убедителен. Однако г-жа Черепаха настояла на строгом доказательстве и мне пришлось проверить все результаты Няунамара. К моему удивлению, они оказались истинными! Я, однако, никогда не пойму, как ему удалось их получить. Наверное, при помощи удивительной и непостижимой восточной магии. Нам этого понять не дано. Это единственное объяснение, которое имеет хоть какой-то смысл.

Черепаха: М-р Краб всегда легко поддавался на удочку мистицизма и всяких странных идей — но мне трудно поверить в подобное объяснение. Я совершенно уверена, что всем вычислениям Няунамара можно найти соответствие в ортодоксальной математике. Я вообще думаю, что, занимаясь математикой, невозможно намного отклониться от традиционного курса.

Ахилл: Это интересное мнение. Думаю, что оно связано с Тезисом Черча-Тюринга и другими подобными темами.

Краб: О, давайте оставим в стороне все эти технические детали — в такой чудесный денек! — и насладимся лучше тишиной леса, пением птиц, и игрой солнечных зайчиков на почках и молодых листочках Хо!

Черепаха: Я — за! Как известно, все поколения Черепах испокон веков наслаждались красотой природы.

Краб: Как и все поколения Крабов.

Ахилл: Вы, часом, не захватили с собой вашу флейту, г-н Краб?

Краб: Разумеется захватил! Я ношу ее с собой везде. Хотите послушать мелодию-другую?

Ахилл: Это было бы прелестно, в таком пасторальном окружении. Вы играете по памяти?

Краб: К сожалению, это выше моих возможностей. Мне нужны ноты. Но это не проблема — у меня с собой есть несколько очень милых пьесок.

(Краб открывает тонкую папку и вытаскивает несколько листов бумаги. На первом листе — следующие символы:

Ea:~Sa=0

Он кладет этот лист на небольшой пюпитр, прикрепленный к флейте, и начинает играть. Мелодия оказывается очень короткой.)

Ахилл: Очень мило. (Заглядывает в ноты и лицо его принимает недоуменное выражение.) Но зачем вы прикрепили к флейте это высказывание теории чисел?

(Краб смотрит на свою флейту, на ноты, затем с удивлением оглядывается.)

Краб: Я вас не понимаю. Какое высказывание теории чисел?

Ахилл: «Ноль не следует ни за каким натуральным числом». Вон там в ваших нотах!

Краб: Это третий постулюд Пеано — у него их пять, и я переложил каждый из них для флейты. Это очень простые и легко запоминающиеся мелодии.

Ахилл: Не понимаю, как можно играть математическое суждение, как если бы оно было нотами!

Краб: Я же вам сказал это вовсе не математическое суждение, а постулюд Пеано! Хотите послушать еще один?

Ахилл: С удовольствием.

(Краб кладет на пюпитр другой лист бумаги, на этот раз Ахилл не спускает с него глаз.)

Я следил за вами, вы смотрели на эту ФОРМУЛУ на листе. Вы уверены, что это музыкальная нотация? Я мог бы поклясться, что это больше напоминает нотацию, которая используется в формализованной теории чисел!

Краб: Как странно. Насколько я могу судить, это ноты, а не математические формулы. Конечно, я весьма далек от математики… Хотите послушать еще какую-нибудь мелодию?

Ахилл: Прошу вас. У вас есть с собой и другие ноты?

Краб: У меня их целая куча.

(Он достает новый лист и кладет его на пюпитр. На листе написаны следующие символы:

~Ea:Eb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSS0

Пока Краб играет, Ахилл не спускает глаз с бумаги.)

Правда, мило?

Ахилл: Да, премиленькая пьеска. Но должен признаться, что ваши ноты все более походят в моих глазах на теорию чисел.

Краб: Ах, боже мой! Это моя обычная музыкальная запись. Я просто не понимаю, где вы видите все эти внемузыкальные понятия в этой простенькой записи! Это же совершенно из другой оперы!

Ахилл: Не согласитесь ли вы сыграть пьесу моего собственного сочинения?

Краб: С превеликим удовольствием. Она у вас с собой?

Ахилл: Нет, но мне кажется, что я смогу запросто что-нибудь сочинить.

Черепаха: Должна вас предупредить, Ахилл, что Краб — строгий судья мелодий, написанных не им; так что не расстраивайтесь, если он не оценит ваших усилий по достоинству.

Ахилл: Благодарю вас за предупреждение, но я все же попробую…

(Он пишет:

((SSS0*SSS0)+(SSSS0*SSSS0))=(SSSSS0*SSSSS0)

Краб берет у него бумагу, смотрит на нее в раздумье, кладет ее на пюпитр и начинает играть.)

Краб: Что ж, это весьма неплохо, Ахилл. Мне нравится этот странный ритм.

Ахилл: Что же в нем странного?

Краб: Может быть вам, как композитору, он кажется естественным, но для меня переход с 3/3 на 4/4 и, затем, на 5/5 звучит экзотически. Если у вас есть для меня еще что-нибудь, я с удовольствием это сыграю.