ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Ахилл: Я так и думал, что вам это понравится.

Черепаха: Как называется ваше сочинение, Ахилл? Мне кажется, что ему подошло бы название «Песнь Пифагора». Вы наверное, помните, что Пифагор был одним из первых, кто стал изучать музыкальные звуки.

Ахилл: Верно. Это очень хорошее название.

Краб: Кроме того не Пифагор ли открыл, что отношение двух квадратов никогда не равняется двум?

Черепаха: Думаю что вы правы. В свое время это считалась еретическим открытием, поскольку никто раньше не догадывался о существовании чисел — таких как квадратный корень из двух — которые нельзя представить, как отношение двух целых чисел. Это открытие было ужасно и для самого Пифагора. Он решил что в абстрактном мире чисел обнаружился неожиданный и кошмарный дефект, могу себе представить, в какое отчаяние пришел бедняга.

Ахилл: Простите вы кажется сказали что-то о чае? Кстати — где же та знаменитая чайная? Долго нам еще карабкаться?

Черепаха: Не волнуйтесь мы будем на месте через пару минут.

Ахилл: Гм-м. Я как раз успею просвистеть вам мотивчик, который сегодня утром услышал по радио.

Краб: Погодите минутку, достану бумагу. Я хочу записать эту мелодию. (Копается в папке и вытаскивает чистый лист ) Готово.

(Ахилл начинает свистеть, мелодия оказывается довольно длинной. Краб быстро записывает, стараясь не отстать.)

Можете ли вы повторить несколько последних тактов?

Ахилл: Конечно.

(После нескольких повторений Краб, наконец, заканчивает и с гордостью показывает свою запись

<((SSSSS0*SSSSS0)+(SSSSS0*SSSSS0))=(SSSSSSS0*SSSSSSS0)+(S0*S0))

~Eb:<Ec:(Sc+b)=((SSSSSSS0 SSSSSSS0)+(S0 S0))Ed:Ed':Ee:Ee'

<~<d=eVd=e'><b=((Sd*Sd)+(Sd'*Sd'))Ab=((Se*Se)+(Se'*Se'))>>>>

Затем он берет флейту и играет записанную им мелодию)

Черепаха: Интересно это похоже на индийскую мелодию.

Краб: Нет, мне кажется для индийской мелодии она слишком проста. Впрочем, я не специалист.

Черепаха: Вот мы и пришли! Где мы сядем, на веранде?

Краб: Если вы не возражаете, лучше сесть внутри, я уже и так слишком долго был на солнце.

(Они входят в чайную, полную народа, садятся за единственный свободный столик и заказывают чай с пирожными. Не проходит и получаса, как им приносят поднос с аппетитными сладостями, каждый выбирает свое любимое пирожное.)

Ахилл: Знаете, м р К, мне бы хотелось услышать ваше мнение о мелодии, которую я только что сочинил.

Краб: Покажите, можете записать ее на этой салфетке.

(Ахилл пишет

Aa:Eb:Ec:<~Ed:Ee:<(SSd*SSe)=bV(SSd*SSe)=c>(a+a)=(b+c)>

Краб и Черепаха с интересом изучают его запись)

Черепаха: Как вы думаете, м-р К, это красивая пьеса?

Краб: Гм-м… Я считаю… Мне кажется… (В явном замешательстве ерзает на стуле.)

Ахилл: В чем дело? Достоинства этой пьесы оказалось определить труднее, чем достоинства других моих сочинений?

Краб: Э-э-э… Нет, нет, это совсем не то. Как бы это сказать… дело в том, что мне надо УСЛЫШАТЬ пьесу, чтобы иметь возможность о ней судить.

Ахилл: Так за чем же дело стало? Прошу вас, сыграйте мою пьеску и скажите нам, находите ли вы ее красивой.

Краб: Конечно, конечно… Я был бы чрезвычайно рад сыграть вашу пьесу; вот только…

Ахилл: Что случилось? Вы не можете сыграть эту пьесу? Почему вы колеблетесь?

Черепаха: Неужели вы не понимаете, Ахилл, что исполнить вашу просьбу было бы невежливо и неделикатно по отношению к посетителям и работникам этой замечательной чайной?

Краб (с внезапным облегчением): Верно! Мы не имеем права навязывать другим свою музыку.

Ахилл (подавленно): О, какая жалость… А я-то ТАК надеялся узнать ваше мнение об этой мелодии!

Краб: Ух ты! Чуть не вляпался!

Ахилл: Как? Что значит это замечание?

Краб: Да так, ничего. Просто тот господин чуть не наступил на пирожные, рассыпанные официантом минуту назад. Сегодня здесь вообще необычайное оживление, яблоку негде упасть.

Черепаха: Дело в том, что сегодня будет известно, кто станет счастливым обладателем приза ежегодной лотереи. Раньше в этой лотерее участвовала и я, но уже давно отчаялась. Приз простой — самовар и набор индийского чая, — но получить его хочется многим, поэтому сегодня здесь столько народу.

Ахилл: Вы хотите сказать, что сегодня — день розыгрыша?

Краб: Вот именно, Ахилл.

Ахилл: А-а, понятно, я это запомню.

Краб: Что ж, пожалуй, мне пора ползти домой. Эта суета вокруг розыгрыша меня порядком утомила, а мне еще предстоит утомительный спуск по крутому склону.

Ахилл: До встречи; и спасибо за урок композиции!

Краб: Я и сам получил большое удовольствие; надеюсь, что когда-нибудь мы продолжим наш обмен сочинениями.

Ахилл: Буду ждать этого дня с нетерпением. До свидания!

Черепаха: До свидания, м-р Краб.

(И краб уползает вниз по холму.)

Ахилл: Что за создание! Это ползет маг и волшебник музыки, блестящий флейтист и композитор. Мне кажется, что он в четыре раза умнее любого из своих собратьев. Или даже в пять —

Черепаха: Как вы уже сказали в начале — и, кажется, собираетесь продолжать говорить во веки веков!

ГЛАВА XVII: Чёрч, Тюринг, Тарский и другие

Формальные и неформальные системы 

 НАСТАЛ МОМЕНТ, когда мы уже можем сформулировать один из основных тезисов этой книги любой аспект мышления можно рассматривать как описание на высшем уровне некой системы, которая на низшем уровне управляется простыми и даже формальными правилами. Под «системой» здесь, разумеется, имеется в виду мозг — если не упоминать мыслительные процессы, протекающие в другой среде, такой, скажем, как электрические цепи компьютера. Это создает образ формальной системы, лежащей в основе «неформальной системы» — такой, которая сочиняет каламбуры, находит численные закономерности, забывает имена, «зевает» фигуры в шахматной партии и так далее. То, что мы видим снаружи, — это ее неформальный, явный уровень, уровень программ. С другой стороны, в системе есть также формальный, скрытый уровень (или «субстрат»), уровень аппаратуры — удивительно сложный механизм, переходящий от одного состояния к другому по определенным, физически встроенным в него правилам, согласно поступающим извне сигналам (входным данным).