История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи

Теоремы теории параболы, которыми пользуется Архимед в этом сочинении, были, по-видимому, доказаны Эвклидом или другим, менее известным математиком того же времени— Аристеем. Оба они написали не дошедшие до нас сочинения о свойствах конических сечений; позднее полученные ими результаты вошли в знаменитый труд-Аполлония Пергского (Κωνικά). Мы видим, что Архимед был прекрасно знаком с математическими работами своих предшественников.

Далее решается задача нахождения площади сегмента, ограниченного параболой и прямой. Как явствует из приведенной выше цитаты, Архимед решает эту задачу двумя методами, причем лишь второй, геометрический, метод он считает удовлетворяющим требованиям строгой математики. Но нас, в первую очередь, интересует первый, по сути дела эвристический, метод, который сам Архимед назвал механическим, ибо он действительно показывает характерную для мышления Архимеда органическую связь математики и механики. Будучи инженером, Архимед сделал механику точной математической наукой, в то же время, будучи математиком, он мыслил с помощью образов и понятий, взятых из сферы механики.

Не повторяя буквально Архимеда, проследим основные стадии вывода формулы для площади параболического сегмента с помощью механического метода.

Рассмотрим параболический сегмент, ограниченный куском параболы αβγ и отрезком αγ (рис. 6). Ставится задача: выразить площадь этого сегмента через площадь вписанного в него треугольника αβγ.

^{Рис. 6. Определение площади параболы механическим методом}

Имеем:

δβ — ось параболы

γζ — касательная к параболе в точке γ

αζ — прямая, параллельная оси параболы, проходящая через точку α.

γϑ — прямая, проходящая через точку γ и вершину параболы β, причем γκ=κϑ,

ξν — прямая, параллельная оси параболы, проходящая через произвольную точку ξ, лежащую на отрезке αγ.

Одно из свойств параболы, доказываемых в теории конических сечений, состоит в том, что:

ξο/ον = αξ/ξγ или ξο/ξν = αξ/αγ

откуда, между прочим, следует:

δβ = βε

(следовательно, γκ — медиана треугольника αγζ). Далее:

ξο/ξν = αξ/αγ = κμ/κγ = κμ/κϑ

Т. е.:

ξο/ξν = κμ/κϑ

До сих пор идет чистая геометрия, но с этого момента начинается механика. Архимед предлагает представить параболический сегмент αβγ и треугольник αζγ как две материальные пластинки, наложенные одна на другую и веса которых определяются их площадями. Отрезок ξ0 будем рассматривать как бесконечно тонкую полоску сегмента, а ξν как такую же полоску треугольника. Веса этих полосок будут определяться их длинами. Перенесем полоску ξ0 в точку ϑ таким образом, чтобы она приняла положение τη, а ее середина (и, следовательно, ее центр тяжести) совпала бы с точкой ϑ. Тогда уравнение (1) можно будет трактовать как условие равновесия рычага, плечи которого равны κϑ и κμ и к концам которого подвешены грузы τη и ξν.

Это же справедливо и для всех прочих, накладывающихся друг на друга полосок сегмента αβγ и треугольника αςγ. Перенеся все полоски, из которых состоит сегмент, в точку ϑ, мы можем заключить, что общий вес параболического сегмента будет уравновешен весом треугольника, если считать, что центр тяжести последнего совпадает с концом правого плеча нашего рычага. В своих предыдущих работах Архимед показал, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Пусть этой точкой будет κ. Тогда условие равновесия сегмента и треугольника можно будет записать следующим образом:

вес сегм. 2βγ/вес треуг. αζγ = площадь сегм. αβγ/площадь треуг. αζγ = κχ/κϑ

Из геометрии мы знаем, что κχ = 1/3 κγ. Отсюда·: площадь сегм. αβγ/площадь треуг. αζγ = κγ/ζκϑ = 1/3

Площадь треугольника αζγ = 1/2 * αζ * αγ,

Из чертежа, однако, явствует, что αζ = 2δε = 4δβ. В результате приходим к окончательному ответу:

площадь сегм. αβγ = 4/3 (1/2 * δβ * αγ) = 4/3 площ. треуг. αβγ

Несмотря на недостаточную строгость механического метода, полученное соотношение оказывается абсолютно точным. Тем не менее во второй части трактата Архимед дает второе (геометрическое) доказательство, где тот же результат получается с помощью метода исчерпывания Эвдокса (рис. 7). При этом Архимед указывает, что в ходе доказательства он пользуется следующим предположением:

«Если имеются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на который большая площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, которая была бы больше любой заданной ограниченной площади» [293] .

^Рис. 7. Определение площади параболы методом «исчерпывания»

Архимед сообщает, что «этой леммой пользовались также и жившие ранее геометры». Он имеет в виду, по-видимому, Эвдокса и Эвклида. Эвдокс, впервые и в самом общем виде (для любых величин, а не только для площадей) сформулировавший это положение, использовал его для разработки своей теории отношений, изложенной в пятой книге «Элементов» Эвклида; в свою очередь, Эвклид доказал с его помощью теоремы о площади круга и об объемах шара, пирамиды и конуса (двенадцатая книга «Элементов»). Таким образом, автором этого положения был фактически Эвдокс, хотя в позднейшей математической литературе оно получило наименование «аксиомы Архимеда».

293

Архимед. Соч. С. 77.

Основная идея геометрического доказательства для той же задачи состоит в следующем. Снова рассматривается параболический сегмент, в который вписан треугольник αβγ. Площадь этого треугольника обозначим буквой A и, положим K=4/3 A. Площадь сегмента может быть либо равна K, либо не равна K. В последнем случае она может быть либо больше K, либо меньше K. Архимед

показывает, что оба этих предположения приводят к абсурду. Делается это следующим образом.

Разделив основание сегмента на четыре равные части (рис. 2), проведем вертикальные отрезки εζ || δβ || ηϑ и построим на сторонах αβ и βγ треугольники αζβ и γβϑ. Нетрудно показать (и Архимед это делает), что суммарная площадь этих двух треугольников будет в четыре раза меньше A. Аналогичным образом, разделив αγ на восемь равных частей, построим на отрезках αζ, ζβ, βϑ и ϑγ четыре треугольника, суммарная площадь которых будет равна одной шестнадцатой A. Продолжая эту процедуру nраз, мы найдем, что площадь вписанного в сегмент многоугольника, ограниченного снизу основанием αγ, а сверху — ломаной линией, состоящей из 2ⁿ⁺¹ отрезков, будет выражаться суммой членов геометрической прогрессии

A + A/4 + A/4² +… +A/4ⁿ

Мы сразу видим, что при n — > ∞ эта сумма будет иметь своим пределом выражение:

A/(1–1/4) =4/3 A =K

Однако в эпоху Архимеда с бесконечными рядами еще не умели оперировать, поэтому Архимед ограничивается рассмотрением ряда с конечным числом членов и показывает, что разность между Kи суммой этого ряда будет равна одной трети последнего члена ряда (т. е. в наших обозначениях 1/3 * A/4ⁿ). Ясно, что, увеличивая число членов ряда, мы можем эту разность сделать меньше любой наперед заданной величины. С другой стороны, эта разность представляет собой площадь остающихся мелких сегментов, на которую площадь параболического сегмента αζβϑγ превосходит площадь вписанного в этот сегмент многоугольника, построенного указанным выше образом из последовательно уменьшающихся треугольников. Отсюда следует, что площадь параболического сегмента αζβϑγ не может превосходить Kна конечную величину, ибо тогда получилось бы, что площадь вписанного многоугольника, выражающаяся суммой (3), могла бы стать больше K, что, как мы видели, не может иметь еста. Очевидно, что и Kне может превосходить площадь параболического сегмента αζβϑγ на конечную величину, ибо тогда площадь вписанного многоугольника сможет стать больше площади αζβϑγ, что также абсурдно. Следовательно, площадь параболического сегмента αζβϑγ равна K = 4/3 A.